【成才之路】2015-2016学年高中数学第3章1第2课时函数的极值课时作业北师大版选修2-2一、选择题1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值有()A．1个B．2个C．3个D．4个[答案]A[解析]若导函数f′(x)在某点两侧的符号为“左负右正”，则该点为极小值点，由图像可知极小值点只有一个．2．函数y＝x3－3x＋2的极大值为m，极小值为n，则m＋n为()A．0B．1C．2D．4[答案]D[解析]令y′＝3x2－3＝0⇒x＝1或x＝－1，经分析知f(－1)为函数y＝x3－3x＋2的极大值，f(1)为函数y＝x3－3x＋2的极小值，故m＋n＝f(－1)＋f(1)＝4.3．函数y＝x4－x3的极值点的个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]B[解析]y′＝x3－x2＝x2(x－1)，由y′＝0得x1＝0，x2＝1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)y′－0－0＋y无极值极小值故选B.4．关于函数的极值，下列说法正确的是()A．导数为零的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数[答案]D[解析]对于f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)的极值点，故A不正确．极小值也可能大于极大值，故B错，C显然不对．5．(2014·西川中学高二期中)已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围是()A．－1
6D．a<－1或a>2[答案]C1[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6， f(x)有极大值与极小值，∴f′(x)＝0有两不等实根，∴Δ＝4a2－12(a＋6)>0，∴a<－3或a>6.二、填空题6．函数f(x)＝2x3－3x2的极大值等于________，极小值等于________．[答案]0－1[解析]f′(x)＝6x(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：x(－∞，0)0(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以当x＝0时有极大值f(0)＝0，当x＝1时有极小值f(1)＝－1.7．函数f(x)＝x－lnx的极小值等于________．[答案]1[解析]f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，则x＝1，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值∴f(x)的极小值是f(1)＝1.8．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝____.[答案]3[解析]f′(x)＝，f′(1)＝＝0⇒a＝3.三、解答题9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在点x0处取得极小值－5，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(0,0)，(2,0)，(1)求a，b的值；(2)求x0及函数f(x)的表达式．[解析](1)由题设可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b， f′(x)的图像过点(0,0)，(2,0)，∴解之得：a＝－3，b＝0.(2)由f′(x)＝3x2－6x＞0，得x＞2或x＜0；∴当在(－∞，0)上，f′(x)＞0.在(0,2)上f′(x)＜0，在(2，＋∞)上f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)上递增，在(0,2)上递减，因此f(x)在x＝2处取得极小值，所以x0＝2，由f(2)＝－5，得c＝－1，∴f(x)＝x3－3x2－1.10.设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．[分析]考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想．2[解析](1)f′(x)＝3x2－3A．因为曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，所以即解得a＝4，b＝24.(2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)．当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．当a>0时，由f′(x)＝0得x＝±.当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈(－，)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．f(x)的增区间(－∞，－)，(，＋∞)，减区间(－，)，此时x＝－是f(x)的极大值点，x＝是f(x)的极小值点.一、选择题1．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是()A．a＋b＋cB．8a＋4b＋cC．3a＋2bD．c[答案]D[解析]由f′(x)的图像可知x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0；x∈(0,2)时，f′(x)>0∴f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为减函数，在(0,2)上为增函数．∴x＝0时，f(x)取到极小值为f(0)＝...
