高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理课时训练 理 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP免费

1.3二项式定理1．二项式定理（1）二项式定理011()CCCC()nnnknkknnnnnnabaababbnLLN，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()nab的二项展开式，共有____________项，其中各项的系数_____________叫做二项式系数.说明：二项式定理中的,ab既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.在二项式定理中，如果设1,abx，则得到公式：0122(1)CCCCCnkknnnnnnnxxxxxLL.（2）二项展开式的通项二项展开式中的Cknkknab叫做二项展开式的通项，用1kT表示，即通项为展开式的第__________项：1CknkkknTab.2．“杨辉三角”与二项式系数的性质（1）杨辉三角当n依次取1,2，3，…时，()nab展开式的二项式系数可以表示成如下形式：该表称为“杨辉三角”，它蕴含着许多规律：例如：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之_______.（2）二项式系数的性质①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数_________.事实上，这一性质可直接由公式1CCmnmnn得到.②增减性与最大值.当12nk时，二项式系数是逐渐增大的；当12nk时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n是偶数时，中间的一项的二项式系数_________最大；当n是奇数时，中间的两项的二项式系数_________相等且最大.③各二项式系数的和.已知0122(1)CCCCCnkknnnnnnnxxxxxLL.令1x，则0122CCCCnnnnnnL.也就是说，()nab的展开式的各个二项式系数的和为_________.参考答案：1．（1）n+1C({0,1,2,,})knknL（2）1k2．（1）和（2）①相等②2Cnn1122C,Cnnnn③2nK—重点二项式定理及二项展开式的通项公式K—难点用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题K—易错容易混淆项与项的系数，项的系数与项的二项式系数一、二项展开式中特定项（项的系数）的计算求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k的值代回通项求解,注意k的取值范围（0,1,2,,knL）.一定要记准二项式的展开式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷.【例1】已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求含的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项.【解析】（1）由通项公式得，2因为第6项为常数项，所以时，有，解得，令，得，故所求系数为.（2）根据通项公式，由题意得1023010rrrZZ,令,则，即，因为，所以应为偶数，所以可以取，即可以取2,5,8，所以第3项、第6项、第9项为有理项，它们分别为，,，即22456345,,48256xx.【名师点睛】第m项是令1km；常数项是该项中不含“变元”，即“变元”的幂指数为0；有理项是通项中“变元”的幂指数为整数.【例2】（2015陕西）二项式(1)()nxnN的展开式中2x的系数为15，则nA．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】二项式1nx的展开式的通项是1CrrrnΤx，令2r得2x的系数是2Cn，因为2x的系数为15，所以2C15n，即2300nn，解得6n或5n，因为nN，所以6n，故选C．二、与二项式定理有关的求和问题二项式定理011()CCCC()nnnknkknnnnnnabaababbnLLN中，,ab既可以取任意实数，也3可以取任意的代数式，还可以是别的.我们在求和时，要根据具体问题灵活选取,ab的值.【例3】在的展开式中，求：（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项的系数和与偶数项的系数和；（5）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.【解析】设,各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,x的奇次项系数和为,x的偶数项系数和为.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.（1）二项式系数的和为.（2）令x＝y＝1,得各项系数和为.（3）奇数项的二项式系数和为.偶数项的二项式系数和为.（4）令x＝y＝1,得①.令x＝1,y＝－1(或x＝－1,y＝1)，得②.①＋②得,故奇数项的系数和为.4①－②得,故偶数项的系数和为.（5）x的奇次项系数和为；x的偶次项系数和为.【名师...