2017高考数学一轮复习第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形第8讲解三角形应用举例习题A组基础巩固一、选择题1．若点A在点B的北偏西30°，则点B在点A的()A．北偏西30°B.北偏西60°C．南偏东30°D．东偏南30°[答案]C[解析]如图，点B在点A的南偏东30°.2．(2015·湖南长沙一模)一学生在河岸紧靠河边笔直行走，经观察，在河对岸靠近河边有一参照物与学生前进方向成30°角，学生前进200m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为()A．50(＋1)mB.100(＋1)mC．50mD．100m[答案]A[解析]如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200.由正弦定得，得BC＝＝100，所以河的宽度为BCsin75°＝100×＝50(＋1)m.3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为()A．8km/hB.6km/hC．2km/hD．10km/h[答案]B[解析]设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝＝，从而cosθ＝，所以由余弦定理得(v)2＝(×2)2＋12－2××2×1×，解得v＝6.选B.4．(2015·黑龙江哈尔滨模拟)如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m,50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A．30°B.45°C．60°D．75°[答案]B[解析]依题意得AD＝20m，AC＝30m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝＝＝＝.又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.5．如图，一栋建筑物AB的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为()A．30mB.60mC．30mD．40m[答案]B[解析]如图，在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝20m.过点A作AN⊥CD于点N，易知∠MAN＝∠AMB＝15°，所以∠MAC＝30°＋15°＝45°，又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40m，在Rt△CMD中，CD＝40×sin60°＝60m，故通信塔CD的高为60m.6．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10海里B.10海里C．20海里D．20海里[答案]A[解析]如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．二、填空题7．在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是________千米.[答案][解析]如图所示，由题意知C＝45°，由正弦定理得＝，∴AC＝·＝.8．已有A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为________km.[答案]－1[解析]如图，由题意可得，∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理可得：AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，即32＝22＋x2－2×2xcos120°，整理得x2＋2x＝5，解得x＝－1(另一解为负值舍掉)．9．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°且距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔东南方向的N处，则这只船的航行速度为________.[答案](海里/小时)[解析]如图所示，在△PMN中，＝，∴MN＝＝34，∴v＝＝(海里/小时)．10．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________m．(取＝1.4，＝1.7)[答案]2650[解析]如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21000(m)．又在△ABC中，＝，∴BC＝×sin15°＝10500(－)． CD⊥AD，∴CD＝BC·sin∠DBC＝10500(－)×＝10500(－1)＝7350.故山顶的海拔高度h＝10000－7350＝2650(m)．三、解答题...
