2.3圆的切线的性质及判定定理A级基础巩固一、选择题1．下列说法正确的是()A．垂直于半径的直线是圆的切线B．垂直于切线的直线必经过圆心C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于切线的直线必经过切点解析：A垂直于半径且经过半径外端的直线是圆的切线，B显然不正确，C正确，D显然不正确．答案：C2.如图所示，AP为圆O的切线，P为切点，OA交圆O于点B，若∠A＝40°，则∠APB等于()A．25°B．20°C．40°D．35°解析：如图所示，连接OP.因为AP为圆O的切线，所以∠OPA＝90°.因为∠A＝40°，所以∠AOP＝90°－40°＝50°.因为OP＝OB，所以∠OPB＝×(180°－50°)＝65°.所以∠APB＝∠OPA－∠OPB＝90°－65°＝25°.答案：A3.如图所示，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA＝4，OA＝3，则cos∠APO的值为()A.B.C.D.解析：因为PA为⊙O的切线，所以OA⊥PA，在Rt△OAP中，1OP＝＝＝5.故cos∠APO＝＝.答案：C4．AB是⊙O的切线，在下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是()A．AB与⊙O相切于直线CD上的点CB．CD经过圆心OC．CD与⊙O相交D．AB与⊙O相切于C，CD过圆心O解析：由圆的切线性质定理，可选D.答案：D5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心的圆与斜边AB相切于点D，则⊙C的半径为()A．5B.C.D．1解析：连接CD(如图)，则CD⊥AB.由三角形面积公式，得S△ABC＝AB·CD＝AC·BC.所以CD＝.又因为AB＝＝＝5，所以CD＝.答案：C二、填空题6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC与⊙A相切于点D，与AB相交于点E，则∠BDE＝________．解析：因为BC与⊙A相切于点D，所以AD⊥BC.且∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝60°，又因为AD＝AE，所以△ADE为等边三角形，即∠ADE＝60°.所以∠BDE＝90°－∠ADE＝30°.答案：30°7．如图所示，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA、OB.若∠ABC＝70°，则∠A等2于________．解析：因为BC与⊙O相切于点B，所以OB⊥BC.所以∠OBC＝90°.因为∠ABC＝70°，所以∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝90°－70°＝20°.因为OA＝OB，所以∠A＝∠OBA＝20°.答案：20°8．如图所示，AB为半圆O的直径，CB是半圆O的切线，B是切点，AC交半圆O于点D，已知CD＝1，AD＝3，那么cos∠ACB＝________．解析：连接BD(如图)，因为AB为半圆的直径，所以∠ADB＝90°，即BD⊥AC.又因为BC为半圆的切线，所以AB⊥BC.所以Rt△BDC∽Rt△ADB.所以＝，即BD2＝AD·CD＝3.所以BD＝.所以Rt△ADB中，AB＝＝2.所以cos∠ACB＝cos∠ABD＝＝＝.答案：三、解答题9．如图所示，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，点P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于点R，求证：RP＝RQ.3证明：连接OQ(如图)．因为QR是⊙O的切线，所以OQ⊥QR.因为OB＝OQ，所以∠B＝∠OQB.因为BO⊥OA，所以∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ，∠PQR＝90°－∠OQP，所以∠RPQ＝∠PQR，所以RP＝RQ.10．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE＝BE，E在BC上，试证明PE是⊙O的切线．证明：如图所示，连接OP、BP，因为AB是⊙O的直径，所以∠APB＝90°.所以∠BPC＝90°.又因为BE＝CE，所以PE＝BE.所以∠3＝∠1.又因为OP＝OB，则∠4＝∠2.由BC切⊙O于B，知∠1＋∠2＝90°.所以∠3＋∠4＝90°.即OP⊥PE.所以PE是⊙O的切线．B级能力提升1.如图所示，AB为⊙O的直径，MN切⊙O于点C，AC＝BC，则sin∠MCA等于()A.B.4C.D.解析：连接OC(如图)．因为MN切⊙O于点C，所以OC⊥MN，所以∠MCA＋∠ACO＝90°.因为OC＝OA，所以∠ACO＝∠CAO.因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB＝90°，所以∠CAO＋∠B＝90°，所以∠MCA＝∠B.因为AC＝BC，即BC＝2AC，所以AB＝＝＝AC，所以sinB＝＝＝.所以sin∠MCA＝.答案：D2．如图所示，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________．解析：连接OC(如图)．O、C为AB、DB中点，则OC∥AD.又OC⊥CE，则CE⊥AD.又AC⊥BD，BC＝CD.所以AB＝AD＝6.由射影定理，有CD2＝AD·ED＝12，所以BC2＝CD2＝12，即BC＝2.答案：23．如图所示，A是以BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA5的延长线相交于点E，G是AD的...
