1.1.2余弦定理1．若三角形的三条边长分别为4,5,7，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．钝角或锐角三角形2．在△ABC中，(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则∠C为()A．60°B．90°C．120°D．150°3．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是__________．4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，则∠B的大小为__________．答案：1．C设长为7的边对应的角为α，则由余弦定理得72＝42＋52－2×4×5cosα，∴cosα＝－<0.∴角α为钝角．2．C由已知，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC.∴cosC＝－. ∠C∈(0，π)，∴∠C＝120°.3．锐角三角形设三边为a，b，c，其中c为斜边，各边增加的长度为x，则三角形的最大内角的余弦cosC＝＝>0，∴∠C为锐角．∴新三角形为锐角三角形．4.由sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，得a∶b∶c＝5∶7∶8.设a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦定理可得∠B＝.课堂巩固1．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形2．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2∠B>∠C，且∠A＝2∠C，b＝4，a＋c＝8，求a，c的长．6．(2009全国高考卷Ⅰ，理17)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.答案：1．C由正弦定理和余弦定理得2··a＝c，整理，得a2－b2＝0，即a＝b.∴△ABC为等腰三角形．2．C a是最大边，∴∠A>.又a20，∴∠A<.∴<∠A<.3．8和5设两边长分别为a、b，1则解得或4．等边三角形由余弦定理cosB＝和∠B＝60°，得a2＋c2－b2＝ac.又b2＝ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0.∴a＝c.又∠B＝60°，∴三角形为等边三角形．5．解：由正弦定理，得＝. ∠A＝2∠C，∴＝.∴a＝2ccosC.又a＋c＝8，∴cosC＝.①又由余弦定理及a＋c＝8，得cosC＝＝＝＝.②由①②，知＝，整理得5c2－36c＋64＝0.∴c＝或c＝4. ∠A＞∠B＞∠C，∴a＞b＞c.∴c≠4.∴a＝8－c＝.故a＝，c＝.6．解：由余弦定理得a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2.①又sinAcosC＝3cosAsinC，sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC.sin(A＋C)＝4cosAsinC，sinB＝4sinCcosA.由正弦定理得sinB＝sinC.故b＝4ccosA.②由①②解得b＝4.1．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.B.C.D.1．答案：A由p∥q可得(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝.又0<∠C<π，∴∠C＝.2．在△ABC中，∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为()A.B.C.D.2．答案：D由余弦定理BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA得49＝25＋AC2－2×5·AC·cos120°，解得AC＝3，由正弦定理得＝＝.23．在△ABC中，∠A＝60°，且最大边长和最小边长是方程x2－7x＋11＝0的两个根，则第三边的长为()A．2B．3C．4D．53．答案：C设△ABC的最大边长和最小边长分别为a，b，第三边长为c. a，b是方程x2－7x＋11＝0的两根，∴a＋b＝7，ab＝11.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos60°＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝72－3×11＝16，∴c＝4.4．(江南十校联考)已知△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB(其中a、b分别是∠A、∠B的对边)，那么∠C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°4．答案：B根据正弦定理＝＝＝2R，得sinA＝，sinB＝，sinC＝，代入已知式，得2R[－]＝(a－b)·，化简，得a2＋b2－c2＝ab，即＝.由余弦定理，得cosC＝＝，∴∠C＝45°.5．已知钝角三角形ABC三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，则k的取值范围为__________．5．答案：2b>a，∴角C为钝角．∴cosC＝<0，即a2＋b2－c2<0.整理，得k2－4k－12<0，即－2k＋4，∴k>2.∴2
