高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 第三节 平面与圆锥面的截线课后导练 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学试题VIP免费

第三节平面与圆锥面的截线课后导练基础达标1.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,那么它的离心率为()A.34B.35C.2D.3解析:由题意知2·(2b)=2a+2c2b=a+c4b2=(a+c)24(c2-a2)=(a+c)24(c-a)=c+a3c=5ae=35.答案:B2.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分,则它的离心率为()A.2B.3C.26D.23解析:由题意知2c=ca22·3,∴e=3.答案:B3.平面π与圆锥的轴线平行,圆锥母线与轴线夹角为60°,则平面与圆锥交线的离心率是()A.2B.21C.23D.23解析:设平面与轴线夹角为β,母线与轴线夹角为α.由题意,知β=0°,α=60°,∴e=211coscos=2.答案:A4.平面π与圆锥的母线平行,那么它们交线的离心率是()A.1B.2C.21D.无法确定解析:由题意,知交线为抛物线,故其离心率为1.答案:A5.一组平行平面与一圆锥的交线,具有()A.相同的焦距B.相同的准线C.相同的焦点D.相同的离心率解析:因为平行平面与圆锥轴线夹角相等,由离心率定义e=coscos,1所以,离心率相同.答案:D综合运用6.设过抛物线的焦点F的弦PQ,则以PQ为直径的圆与此抛物线的准线的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.以上答案均有可能解析:过点P、Q分别作准线的垂线PP1、QQ1,其中P1、Q1为垂足,由抛物线的结构特点知PP1+QQ1=PF+QF=PQ.取PQ的中点O,过O作OO1垂直于准线,则OO1∥PP1∥QQ1,∴OO1=21(PP1+QQ1）=21PQ,即圆心到准线的距离等于半径.∴相切.答案:B7.线段AB是抛物线的焦点弦.若A、B在抛物线准线上的正射影为A1、B1,则∠A1FB1等于()A.45°B.60°C.90°D.120°图3-3-5解析:如图3-3-5,由抛物线定义,则AA1=AF,∴∠AA1F=∠AFA1.又∵AA1∥EF,∴∠AA1F=∠A1FE.∴FA1是∠AFE的平分线.同理,FB1是∠BFE的平分线.∴∠A1FB1=21∠AFE+21∠BFE=21(∠AFE+∠BFE)=90°.答案:C拓展探究8.已知F1、F2是双曲线的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于F1F2的弦.如果∠PF2Q=90°,则双曲线的离心率是()A.2B.2+1C.2-1D.22+1解析:如图3-3-6,由对称性知△F1F2P是等腰直角三角形,2图3-3-6∴F1F2=PF1.设双曲线的焦距为2c,实轴为2a,则PF1=2c,∴PF2=22c.由双曲线结构特点,PF2-PF1=2a,即22c-2c=2a.∴ac=2+1.∴e=2+1.答案:B9.如图3-3-7,抛物线的焦点为F,顶点为A,准线为l,过F作PF⊥AF,求证:AF=21PF.图3-3-7证明:过P作PB⊥l于B,由抛物线的结构特点,PB=PF,AH=AF.又HF=BP,∴AF=21HF=21BP=21PF.备选习题10.以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆和相应准线相切,则这样的圆锥曲线()A.是不存在的B.是椭圆C.是双曲线D.是抛物线解析:由圆锥曲线的定义知,抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离,所以应选D.答案:D11.已知椭圆两准线间的距离为20,长轴长为10,则短轴长为____________.解析:由,202,1022caa3得a=5,c=25.∴2b=35222ca.答案:534