三反证法与放缩法VIP免费

放缩法在数列不等式证明中的应用----------------放缩后能裂项相消放缩后能裂项相消广州市越秀外国语学校谢燕妹一、知识回顾1、已知数列的通项公式，欲求数列的前n项和则需用。na)1(1nnan裂项相消法其中通项公式可以裂项为=)1(1nnan111nn所以nS）（2111）（3121）（111nn111n2、已知数列的通项公式，欲求数列的前n项和则需用。na)12(121nnan）（裂项相消法其中通项公式可以裂项为=)12(121nnan）（）（12112121nn所以nS）（3111[21）（5131]121121）（nn）（121121n3、已知数列的通项公式，欲求数列的前n项和则需用。na)12)(1221nnnna（裂项相消法其中通项公式可以裂项为=)12)(12(21nnnna1211211nn所以nS）（3111）（7131）（1211211nn12111n二、题型讲练例1、数列的通项公式，它的前n项和为，na12nan求证：211121nSSS分析：12nan2nSnnS21211111122221nSSSn要证要求和，就要进行放缩二、题型讲练证明：12nan2nSn2222112111111nSSSn)1(nn)1(1211112nnnnn121112111例1、数列中，通项公式，它的前n项和为，na12nan求证：211121nSSSnS时*Nn211121nSSS当时，显然成立；2nSn1n当时，2nnn2二、题型讲练2nSn211121nSSS)1(nn2nSnnn2>?不妨尝试一下2nSn12n)1)(1(nn4711121nSSS变式1、数列中，通项公式，它的前n项和为，na12nan求证：4711121nSSSnS二、题型讲练)(*2NnnSn证明:①当时，，原不等式成立。1n47111S②当时，2n)1)(1(11)1()1(1222nnnnnnn)1)(1(142131111211111122221nnnSSSn47)111(2147)111211(211)111151314121311(211nnnnnn对一切正整数,有小结：利用放缩可以证明数列不等式应该根据题目的要求选取放缩的大小。变式1、数列中，通项公式，它的前n项和为，na12nan求证：4711121nSSSnS4711121nSSS二、题型讲练证明：12nan2nSn2222112111111nSSSn)1(nn)1(1431211122nn35112191114131411nnn时*Nn3511121nSSS当时，显然成立；2nSn21、n当时，3nnn2变式1、数列中，通项公式，它的前n项和为，na12nan求证：4711121nSSSnS除了调整放缩的尺度的大小之外还能如何进行调整呢？小结：利用放缩证明数列不等式时应灵活选取开始进行放缩的项。二、题型讲练例2、数列的通项公式，它的前n项和为，na12nan求证：3511121nSSSnS211121nSSS3511121nSSS可以调整放缩的尺度的大小之外和调整项数4711121nSSS二、题型讲练)(*2NnnSn证明:①当时，，原不等式成立。1n35111s②当时，，原不等式成立。2n354111121SS③当时，3n)1)(1(11)1()1(1222nnnnnnn)1)(1(142121112111111222221nnnSSSn35)111(2135)1113121(2145)111151314121(21411nnnnnn对一切正整数,有例2、数列中，通项公式，它的前n项和为，na12nan求证：3511121nSSSnS3511121nSSS变式2、数列满足，nb122nbn求证：数列的前n项和。2nb1889nT二、题型讲练二、题型讲练变式2、数列满足，nb122nbn求证：数列的前n项和。2nb1889nT证明：因为22421nbn2222123nnTbbbb所以2444492521n2n当时222444111441441121nnnnnnnnn2444492521nTn41111114923341nn...