数列与不等问题(老师版)一.先求与后放缩(主要就是先裂项求与,再放缩处理)例 1.正数数列得前项得与,满足,试求:(1)数列得通项公式;(2)设,数列得前项得与为,求证:解:(1)由已知得,时,,作差得:,所以,又因为为正数数列,所以,即就是公差为 2 得等差数列,由,得,所以(2),所以真题演练 1:(06 全国 1 卷理科 22 题)设数列得前项得与,,(Ⅰ)求首项与通项;(Ⅱ)设,,证明:、解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3,… , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以 a1=2新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆 再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3,4,…将①与②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, …整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}就是首项为 a1+2=4,公比为 4 得等比数列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而 an=4n－2n, n=1,2,3, …,(Ⅱ)将 an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2) = ×(2n+1－1)(2n－1) Tn= = × = ×( － )所以, = － ) = ×( － ) < 二.先放缩再求与1.放缩后成等比数列,再求与例 2.等比数列中,,前 n 项得与为,且成等差数列.设,数列前项得与为,证明:.解: ,,,∴公比. ∴. . (利用等比数列前 n 项与得模拟公式猜想)∴. 真题演练 2:(06 福建卷理科 22 题)已知数列满足(I)求数列得通项公式;(II)若数列滿足,证明:数列就是等差数列;(Ⅲ)证明:、(I)解:就是以为首项,2 为公比得等比数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆 即 (II)证法一: ① ②②－①,得即 ③－④,得 即 就是等差数列新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆 (III)证明:2.放缩后为“差比”数列,再求与例 3.已知数列满足:,.求证:证明:因为,所以与同号,又因为,所以,即,即.所以数列为递增数列,所以,即,累加得:.令,所以,两式相减得:,所以,所以,故得.3.放缩后成等差数列,再求与例 4.已知各项均为正数得数列得前项与为,且、(1) 求证:;(2) 求证:解:(1)在条件中,令,得, ,又由条件有,上述两式相...
