数列型不等式的放缩技巧九法VIP专享

数列型不等式的放缩技巧九法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深化剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种：一利用重要不等式放缩1.均值不等式法］：2b，若 f1) 4，且 f(x)在 I。，1］上的最小值为 2，求证:f(n) n 上 L (02 年全国联赛山东预赛题)2n 12简析 f(x) -4— 1 —1 —(x 0) f 1) f(n) 1 -^)14x 14x 22x22例 3 求证 C1 C 2 C 3Cn n 2； (n 1,n N).n n nn简析不等式左边 C1 C2 C 3 C n 2n 1 1 2 222n 1n n nnn 1n A 1 2 2 22n1 = n 22，故原结论成立.2.利用有用结论例 4求证 GDI1)!1)1 _^) 很厂 1.352n 1简析本题可以利用的有用结论主要有：1 —)2 1 2 -^ 此处 n 2,x 二)得 2k 12k 12k 1注：例 4 是 1985 年上海高考试题，以此题为主干添“枝”高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。证明 1 1) 1 1) 1 1)1 _二)顼 3n 1.可考虑用贝努利不等式 n3的特例)473n 2例 1 设 S M En解析此数列的通项为 akk k 1 ,-------k2n(n 1)2k v'k(k 1)即 n(n 1)2注：①应注意把握放缩的“度”：n(n 1) QS2,n.(k 4)，2(n 1) 2 2v;n(n 1).求证v；k(k 1),k 1,2,1， n k S2k 1n (n-1^.22上述不等式右边放缩用的是均值不等式、，亦 立，若放成n & 1) S 1)n 3) (! 1)2 ，就放过“度” 了！W 1) k 1 则得 Sn '22② 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里2,3 等的各式及其变式公式均可供选用。其中，n已知函数 f (x)f 1) f(2)法 1 利用假分数的一个性质 ba1 即2 4 6 2n。- ----)2 2n1 3 5 2n 1x)nb m „八-----(b a 0,ma m1 1)1 小 4)351 nx (n N ,n0)可得2n 12, x气 2n 1.1, x 0)的一个特例加“叶”而编拟成 1998 年全国如理科题的主干是：例 5 已知函数 f(x) lg ,0 a 1,给定 n N ,n 2.n求证：f (2x) 2 f(x) X 0)对任意 n N 且 n 2 恒成立。(90 年全国卷压轴题)简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西(Cauchy)不等式[n(ab)]2 na2 n1i i...