不等式高级水平必备VIP免费

第1页目录Ch1.伯努利不等式Ch2.均值不等式Ch3.幂均不等式Ch4.柯西不等式Ch5.切比雪夫不等式Ch6.排序不等式Ch7.琴生不等式Ch8.波波维奇亚不等式Ch9.加权不等式Ch10.赫尔德不等式Ch11.闵可夫斯基不等式Ch12.牛顿不等式Ch13.麦克劳林不等式1Ch14.定义多项式Ch15.舒尔不等式Ch16.定义序列Ch17.缪尔海德不等式Ch18.卡拉玛塔不等式Ch19.单调函数不等式Ch20.3个对称变量pqr法Ch21.3个对称变量uvw法Ch22.ABC法Ch23.SOS法Ch24.SMV法Ch25.拉格朗日乘数法Ch26.三角不等式Ch27.习题与习题解析不等式高级水平必第2页12Ch1.伯努利不等式1.1若实数xi（i1,2,...,n）各项符号相同，且xi1，则：(1x1)(1x2)...(1xn)1x1x2...xn(1)式为伯努利不等式.(1)当xx...xx时，(1)式变为：(1x)n1nxCh2.均值不等式2.1若a1,a2,...,an为正实数，记：(2)第3页12nna2a2...a2na1a2...an⑴Qn，为平方平均数，简称平方均值；⑵Ana1a2...an，为算术平均数，简称算术均值；n⑶Gn，为几何平均数，简称几何均值；⑷Hn11a1a2n...1an，为调和平均数，简称调和均值.则：QnAnGnHn1(3)iffa1a2...an时，等号成立.（注：iffifandonlyif当且仅当.）(3)式称为均值不等式.Ch3.幂均不等式3.1设a(a1,a2,...,an)为正实数序列，实数r0，则记：1arar...arrM(a)12n(4)n(4)式的Mr(a)称为幂平均函数.3.2若a(a1,a2,...,an)为正实数序列，且实数r0，则：Mr(a)Ms(a)(5)当rs时，(5)式对任何r都成立，即Mr(a)关于r是单调递增函数.(5)式称为幂平均不等式，简称幂均不等式.3.3设m(m1,m2,...,mn)为非负实数序列，且m1m2...mn1，若a(a1,a2,...,an)为正实数序列，且实数r0，则：r第3页r1122n1122nn1122nrnna1b1a2b2...anbnnQn(a)Qn(b)(aa...a)2(bb...b)212n12na2b211a2b222a2b2nn1Mm(a)(marmar...mar)r(6)式称为加权幂平均函数.(6)3.4若a(a,a,...,a)为正实数序列，且实数r0，对Mm(a)则：Mm(a)Mm(a)12nrrs11即：(marmar...mar)r(masmas...mas)s(7))当rs时，(7)式对任何r都成立，即Mm(a)关于r是单调递增函数.(7))式称为加权幂平均不等式，简称加权幂均不等式.Ch4.柯西不等式4.1若a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn均为实数，则：(a2a2...a2)(b2b2...b2)(abab...ab)2(8)12n12n1122nniffa1a2...an时，等号成立.（注：iffifandonlyif当且仅当.）b1b2bn(8)式为柯西不等式.4.2柯西不等式还可以表示为：a2a2...a2b2b2...b2abab...ab(12n)(12n)(1122nn)2(9)nn1n简称：“平方均值两乘积，大于积均值平方”我们将a1b1a2b2...anbn简称为积均值，记：D.n则：[Q(a)]2[Q(b)]2[D(ab)]4，即：4.3推论1：若a,b,c,x,y,z为实数，x,y,z0，则：nDn(ab)(10)a2a2a2(aa...a)212...n12n(11)b1b2bnb1b2...bniffa1a2...an时，等号成立.b1b2bn(11)式是柯西不等式的推论，称权方和不等式.4.4推论2：若a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn均为实数，则：iffa1a2......an时，等号成立.(12)b1b2bn4.5推论3：若a,b,c,x,y,z为正实数，则：3(abbcca)第4页An(a)An(b)x(bc)y(ca)z(ab)(13)yzzxxyCh5.切比雪夫不等式5.1若a1a2...an；b1b2...bn，且均为实数.则：(a1a2...an)(b1b2...bn)n(a1b1a2b2...anbn)(14)iffa1a2...an或b1b2...bn时，等号成立.(12)式为切比雪夫不等式.由于有a1a2...an，b1b2...bn条件，即序列同调，所以使用时，常采用WLOGa1a2...an……(注：WLOGWithoutLossOfGenerality不失一般性)5.2切比雪夫不等式常常表示为：(a1a2...an)(b1b2...bn)(a1b1a2b2...anbn)nnn简称：“切比雪夫同调数，均值积小积均值”.(15)即：对切比雪夫不等式采用同单调性的两个序列表示时，两个序列数的均值之积不大于两个序列数各积之均值.则：A(a)A1(b)[D(ab)]2即：Ch6.排序不等式Dn(ab)(16)nnn6.1若a1a...