高中数学 第三章 统计案例 3.1 回归分析的基本思想及其初步应用例题与探究 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP专享VIP免费

3.1回归分析的基本思想及其初步应用典题精讲【例1】下列五个命题，正确命题的序号为_____________.①任何两个变量都具有相关关系②圆的周长与该圆的半径具有相关关系③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究思路解析:变量的相关关系是变量之间的一种近似关系,并不是所有的变量都有相关关系,而有些变量之间是确定的函数关系.例如,②中圆的周长与该圆的半径就是一种确定的函数关系;另外,线性回归直线是描述这种关系的有效的方法；如果两个变量对应的数据点与所求出的直线偏离较大，那么，这条回归直线的方程就是毫无意义的.答案:③④⑤绿色通道：相关关系是一种不确定关系,但是它们之间也有一定的规律,根据回归分析可以对它们之间的关系进行估计.变式训练两个变量之间的相关关系是一种()A.确定性关系B.线性关系C.非线性关系D.可能是线性关系也可能不是线性关系思路解析:变量之间的相关关系是一种非确定性的关系,如果所有数据点都在一条直线附近,那么它们之间就是一种线性相关关系,否则不是线性相关关系.答案:D【例2】为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均数都为s，对变量y的观测数据的平均数都是t，则下列说法正确的是()A.l1与l2有交点（s，t）B.l1与l2相交，但交点不一定是（s，t）C.l1与l2必定平行D.l1与l2必定重合思路解析:回归直线yˆ=a+bx中的系数xbya,所以,方程又可以写成:bxxbyyˆ.显然,当x=x时,y=y,所以,回归直线一定通过定点（yx.）.这里的x=s,y=t,也即是说,所得回归直线方程恒过点（s，t）,所以,l1与l2有交点（s，t），但是考虑到一般数据之间是有误差的，所以，不一定重合.答案:A黑色陷阱：回归直线是对相关关系的一种估计关系式,由于相关关系的不确定性,实际上这些点不一定都在回归直线上.否则就会因为不理解相关关系的含义而导致错误.变式训练“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时由高尔顿提出的.他的研究结果是子代的平均身高向中心回归.根据他的结论，在儿子的身高y与父亲的身高x的回归方程y=xy10ˆˆ中，1ˆ()A.在（-1，0）内B.等于0C.在（0，1）内D.在［1，+∞）内思路解析:根据遗传的含义,子女的身高应该逐渐接近父亲的身高,也就是一种正相关关系,所以,1ˆ应是一个正值,又子女的身高逐渐回归到父亲的身高,所以,1ˆ<1.1答案:C【例3】要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生,分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩（如下表）：学生编号12345678910入学成绩x63674588817152995876高一期末成绩y65785282928973985675(1)计算入学成绩(x)与高一期末考试成绩(y)的相关关系；(2)对变量x与y进行相关性检验，如果x与y之间具有线性相关关系,求出一元线性回归方程；(3)若某学生入学数学成绩80分,试估计他高一期末数学考试成绩.思路分析:可以直接代入相关公式得出回归直线方程,根据方程对他高一的期末成绩进行估计.解:(1)因为101x（63+67+…+76）=70,101y（65+78+…+75）=76，Lxy=101))((iiiyyxx=1894,Lxx=1012)(iixx=2474,lyy=101)(iiyy=2056,因此求得相关系数为r=yyxxxyiiiiiiiLLLyyxxyyxx10121012101)()())((=0.839789.结果说明这两组数据的相关程度是比较高的.(2)查表求得在显著水平0.05和自由度10-2=8的相关系数临界值r0.05=0.632,因r=0.839768>r0.05，这说明数学入学成绩与高一期末成绩之间存在线性相关关系.设线性回归方程为y=a+bx，在两组变量具有显著的线性关系情况下:b=xxxyLL=0.76556,a=xby=22.41067.因此所求的线性回归方程是y=22.41067+0.76556x.(3)若某学生入学数学成绩为80分，代入上式可求得y≈84分，即这个学生高一期末数学成绩预测值为84分.绿色通道：回归直线是对相关关系的一种估计关系式,...