椭圆方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·聊城高二检测)过椭圆x2+2y2=4的左焦点F作倾斜角为的弦AB,则弦AB的长为()A.B.C.D.【解析】选B.椭圆的方程可化为+=1,所以F(-,0).又因为直线AB的斜率为,所以直线AB的方程为y=x+.由得7x2+12x+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1·x2=,所以|AB|==.2.AB为过椭圆+=1(a>b>0)中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB面积的最大值为()A.b2B.abC.acD.bc【解析】选D.由AB过椭圆中心,则yA+yB=0,故S△AFB=(yA-yB)·c=|2yA|·c=|yA|·c≤bc,即当AB为y轴时面积最大.3.(2016·济宁高二检测)如果椭圆+=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是()A.x-2y=0B.x+2y-4=0C.2x+3y-12=0D.x+2y-8=01【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则两式相减再变形得+k=0.又弦中点为(4,2),故k=-,故这条弦所在的直线方程为y-2=-(x-4),整理得x+2y-8=0.4.(2016·衡水高二检测)如果AB是椭圆+=1(a>b>0)的任意一条与x轴不垂直的弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,则kAB·kOM的值为()A.e-1B.1-eC.e2-1D.1-e2【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),由点差法,+=1,+=1,作差得=,所以kAB·kOM=·=-==e2-1.【补偿训练】椭圆+=1中,以点M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为()A.B.C.D.-【解析】选B.设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则①-②得+=0,又因为弦中点为M(-1,2),所以x1+x2=-2,y1+y2=4,2所以+=0,所以k==.5.(2016·郑州高二检测)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为a,b,则方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为()A.B.C.D.【解析】选B.因为+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆,所以a>b>0,a<2b,它对应的平面区域如图中阴影部分所示:则方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为P===.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·南昌高二检测)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为.【解析】根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a>b>0).因为e=,所以=.根据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,3所以椭圆方程为+=1.答案:+=17.(2016·沈阳高二检测)椭圆+=1上有n个不同的点P1,P2,P3,…,Pn,椭圆的右焦点为F,数列{|PnF|}是公差大于的等差数列,则n的最大值为.【解题指南】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,|PnF|=|P1F|+(n-1)d,再由数列{|PnF|}是公差大于的等差数列,可求出n的最大值.【解析】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,|PnF|=|P1F|+(n-1)d.若d=,n=201,d>,n<201.答案:2008.(2016·长春高二检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为.【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点A(或B)到右焦点的距离,进而求得a,c.【解析】在△ABF中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF,又|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,解得|AF|=6.在△ABF中,|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故△ABF为直角三角形.设椭圆的右焦点为F′,连接AF′,BF′,根据椭圆的对称性,四边形AFBF′为矩形,则其对角线|FF′|=|AB|=10,且|BF|=|AF′|=8,即焦距2c=10,又据椭圆的定义,得|AF|+|AF′|=2a,所以2a=|AF|+|AF′|=6+8=14.故离心率e===.答案:4三、解答题(每小题10分,共20分)9.在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-),(0,)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.(1)求C的方程.(2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时⊥?此时|AB|的值是多少.【解析】(1)设P(x,y),由椭圆的定义知,点P的轨迹C是以(0,-),(0,)为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴长b==1.故曲线C的方程为+x2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足消去y,并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0.由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=-.若⊥,则x1x2+y1y2=0.因为y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,所以x1x2+y1y2=---+1=-=0,所以k=±.当k=±时,x1+x2=∓,x1x2=-.所以|AB|==.而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+4×=,所以|AB|==.10.(2016·烟台高二检测)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线5被椭...
