【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第1章坐标系1.2极坐标系学业分层测评北师大版选修4-4(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.直线：x＋y＝1与曲线(θ为参数)的公共点有()A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】曲线即x2＋y2＝4，由得2x2－2x－3＝0.这里Δ>0，故有2个公共点.【答案】C2.椭圆的长轴长和短轴长分别为()A.32B.62C.34D.64【解析】由方程可知a＝3，b＝2，∴2a＝6,2b＝4.【答案】D3.直线3x－4y－9＝0与圆(φ为参数)的位置关系是()【导学号：12990026】A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但不过圆心【解析】圆(φ为参数)的普通方程为x2＋y2＝4，则圆心(0,0)到直线3x－4y－9＝0的距离d＝＝＜2，又3×0－4×0－9＝－9≠0，故选D.【答案】D4.x，y∈R且满足x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值是()A.B.10C.9D.5＋2【解析】设(α为参数)，则x－2y＝1＋cosα＋4－2sinα＝5sin(α－φ)＋5，故(x－2y)max＝10.【答案】B5.下列双曲线中，与双曲线(φ为参数)的离心率和渐近线都相同的是()A.－＝1B.－＝－1C.－x2＝1D.－x2＝－1【解析】将双曲线(α为参数)化为普通方程为－y2＝1,其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝，经验证知B正确.【答案】B二、填空题6.圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，那么它的参数方程为________.【解析】把ρ＝4cosθ化为x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝2.这里圆心为(2,0)，半径为2，所以它的参数方程为(θ为参数).【答案】(θ为参数)7.直线(t为参数)与曲线(α为任意实数)的交点个数为________.【解析】消参后，直线为x＋y＝1，曲线为圆x2＋y2＝9，圆心(0,0)到直线的距离为，小于半径3，所以直线与圆相交，因此，交点个数为2.1【答案】28.对于任意实数，直线y＝x＋b与椭圆(0≤φ＜2π)恒有公共点，则b的取值范围是________.【解析】椭圆可化为＋＝1.把y＝x＋b代入得，5x2＋2bx＋b2－16＝0，Δ＝4b2－20(b2－16)≥0，解得－2≤b≤2.【答案】－2，2]三、解答题9.已知点M(x，y)是圆x2＋y2＋2x＝0上的动点，若4x＋3y－a≤0恒成立，求实数a的取值范围.【解】依题意，a≥(4x＋3y)max即可.由于圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，参数方程为(θ∈R).于是点M的坐标为(－1＋cosθ，sinθ)，∴4x＋3y＝－4＋4cosθ＋3sinθ＝－4＋5sin(θ＋φ).其中，tanφ＝，角φ的终边过点(3,4)，于是当sinθ＝，cosθ＝时，(4x＋3y)max＝1.此时，点M的坐标为.所以实数a的取值范围是1，＋∞).10.如图227，求椭圆＋＝1的内接矩形中，面积最大的矩形的长和宽及其最大面积.图227【解】已知椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，设P(x，y)是椭圆上在第一象限内的一点，则P点的坐标是P(3cosφ，2sinφ)，内接矩形面积为S＝4xy＝4×3cosφ·2sinφ＝12sin2φ.当sin2φ＝1，即φ＝45°时，面积S有最大值12，这时x＝3cos45°＝，y＝2sin45°＝.故面积最大的内接矩形的长为3，宽为2，最大面积为12.能力提升]1.设P(x，y)为椭圆(x－1)2＋＝1上的一点，则x＋y的取值范围是()A.B.RC.D.【解析】设则x＋y＝1＋cosα＋sinα＝1＋sin(α＋φ)，2∴1－≤x＋y≤1＋.【答案】A2.直线＋＝1与椭圆＋＝1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB的面积等于4，这样的点P共有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】设椭圆上一点P1的坐标为(4cosθ，3sinθ)，θ∈，如图所示，则SP1AOB＝S△OAP1＋S△OBP1＝×4×3sinθ＋×3×4cosθ＝6(sinθ＋cosθ)＝6sin.当θ＝时，SP1AOB有最大值为6.所以S△ABP1≤6－S△AOB＝6－6<4.故在直线AB的右上方不存在点P使得△PAB的面积等于4，又S△AOB＝6>4，所以在直线AB的左下方，存在2个点满足到直线AB的距离为，使得S△PAB＝4.故椭圆上有两个点使得△PAB的面积等于4.【答案】B3.设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程为________.【导学号：12990027】【解析】把y＝tx代入圆的方程得x2＋t2x2－4tx＝0，当x＝0时，y＝0.当x≠0时，x＝，由y＝tx得y＝，故(t为参数).【答案】(t为参数)4.如图228，已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P，Q两点.求证：|OP|·|OQ|为定值.图228【证明】设M点的坐标为(2cosφ，sinφ)(φ为参数)，B1(0，－1)，B2(0,1).则MB1的方程为y＋1＝·x.令y＝0，则x＝，即|OP|＝.MB2的方程为y－1＝x，∴|OQ|＝.∴|OP|·|OQ|＝·＝4.因此|OP|·|OQ|＝4(定值).3
