高中数学 第一章 导数及其应用能力深化提升 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP免费

第一章导数及其应用能力深化提升类型一导数的几何意义【典例1】(1)已知直线y=kx是曲线y=ex的切线，则实数k的值为()A.B.-C.-eD.e(2)曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P0的坐标为()A.(1，0)B.(2，8)C.(1，0)和(-1，-4)D.(2，8)和(-1，-4)【解析】(1)选D.因为y′=ex，设切点为(x0,y0),所以所以x0=1,所以k=e.(2)选C.设切点P0(a,b),因为f′(x)=3x2+1,所以k=f′(a)=3a2+1=4,所以a=±1,把a=-1代入到f(x)=x3+x-2得b=-4；把a=1代入到f(x)=x3+x-2得b=0，所以P0的坐标为(1，0)和(-1，-4).【方法总结】切点的两种情形利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种：(1)求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得.(2)求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)①,又y1＝f(x1)②；由①②求出x1，y1的值,便求出了过点P(x0，y0)的切线方程．【巩固训练】已知函数f(x)=x3-3x2+a，若f(x+1)是奇函数，求曲线y=f(x)在点(0,a)处的切线方程.【解析】根据函数f(x+1)是奇函数，所以f(x)的图象的对称中心是(1,0)，故有f(1)=0，所以a=2，即f(x)=x3-3x2+2，所以有f(0)=2，f′(x)=3x2-6x,f′(0)=0，故所求的切线为过(0,2)点且斜率是0的直线，1所以方程为y=2.【补偿训练】已知曲线y=x2-1与y=1+x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0的值.【解析】y′=2x,又因为k1k2=-1，所以所以类型二导数与函数的单调性【典例2】(2016·四川高考)设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性.(2)确定a的所有可能取值，使得f(x)＞-e1-x在区间(1，+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).【解题指南】(1)对fx求导，对a进行讨论，判断函数的单调性.(2)利用导数判断函数的单调性，判断最值，证明结论.【解析】(1)由题意，①当a≤0时，2ax2-1＜0，f′(x)＜0，f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当a＞0时，当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增.(2)原不等式等价于f(x)-+e1-x＞0在x∈(1,+∞)上恒成立.2一方面，令g(x)=f(x)-+e1-x=ax2-lnx-+e1-x-a，只需g(x)在x∈(1,+∞)上恒大于0即可.又因为g(1)=0，故g′(x)在x=1处必大于等于0.令F(x)=g′(x)=g′(1)≥0，可得a≥.另一方面，当a≥时，因为x∈(1,+∞)，故x3+x-2＞0，又e1-x＞0，故F′(x)在a≥时恒大于0.所以当a≥时，F(x)在x∈(1,+∞)上单调递增.所以F(x)＞F(1)=2a-1≥0，a≥,故g(x)也在x∈(1,+∞)上单调递增.所以g(x)＞g(1)=0，即g(x)在x∈(1,+∞)上恒大于0.综上，a≥.【方法总结】利用导数研究函数单调性的四个注意点(1)利用导数讨论函数的单调性，要先求函数的定义域，只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间.(2)一般利用使导数等于零的点来对函数划分单调区间.两个单调性相同的区间，不能用并集符号连接.(3)当给定问题中含有字母参数时，需要分类讨论确定单调区间.(4)由函数单调性求参数取值范围.f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)=0不恒成立.f(x)为减函数⇔f′(x)≤0且f′(x)=0不恒成立.【巩固训练】(2017·东莞高二检测)设f(x)=+2ax.若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围.3【解析】由f′(x)=-x2+x+2a=当x∈时，f′(x)的最大值为所以，当a∈时，f(x)在上存在单调递增区间.【补偿训练】已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.(1)求实数a,b的值.(2)若函数f(x)在区间［m,m+1］上单调递增，求m的取值范围.【解析】(1)因为函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1，4)，所以a+b=4.①f′(x)=3ax2+2bx,则f′(1)=3a+2b.由条件f′(1)·=-1，即3a+2b=9.②由①②解得a=1,b=3.(2)f(x)=x3+3x2,则f′(x)=3x2+6x.令f′(x)=3x2+6x≥0，得x≥0或x≤-2.因为函数f(x)在区间［m,m+1］上单调递增，所以［m,m+1］⊆(-∞,-2］∪［0,+∞),所以m≥0或m+1≤-2,所以m≥0或m≤-3.类型三导数与函数的极值与最值【典例3】已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值.(2)若f(x)有...