2017高考数学一轮复习第五章数列第4讲数列求和习题A组基础巩固一、选择题1．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项之和为()A．2n－1B.n·2n－nC．2n＋1－nD．2n＋1－n－2[答案]D[解析]记an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，∴Sn＝－n＝2n＋1－2－n.2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝()A．15B.12C．－12D．－15[答案]A[解析]记bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.3．(2015·曲靖一模)＋＋＋…＋的值为()A.B.－C.－(＋)D．－＋[答案]C[解析] ＝＝＝(－)，∴＋＋＋…＋＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝(－－)＝－(＋)．4．已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前2016项的和等于()A．1509B.3018C．1512D．2016[答案]C[解析]因为a1＝，又an＋1＝＋，所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，即得an＝故数列的前2016项的和等于S2016＝1008×(1＋)＝1512.5．(2015·日照一模)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝()A．6n－n2B.n2－6n＋18C.D．[答案]C[解析]由Sn＝n2－6n可得，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－6n－(n－1)2＋6(n－1)＝2n－7.当n＝1时，S1＝－5＝a1，也满足上式，所以an＝2n－7，n∈N*.∴n≤3时，an＜0；n＞3时，an＞0，∴Tn＝6．设直线nx＋(n＋1)y＝(n∈N*)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1＋S2＋…＋S2017的值为()A.B.C.D．[答案]D[解析]直线与x轴交于(，0)，与y轴交于(0，)，∴Sn＝··＝＝－.∴原式＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.二、填空题7．(2015·沈阳质量监测)已知数列{an}满足an＝，则数列{}的前n项和为________.[答案][解析]an＝＝，＝＝4(－)，所求的前n项和为4(－＋－＋…＋－)＝4(－)＝.8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.[答案]2n＋1－2[解析] an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.9．(2015·辽宁五校协作体联考)在数列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝1，记Sn是数列{an}的前n项和，则S60＝________.[答案]480[解析]依题意得，当n是奇数时，an＋2－an＝1，即数列{an}中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a1＋a3＋a5＋…＋a59＝30×1＋×1＝465；当n是偶数时，an＋2＋an＝1，即数列{an}中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a58＋a60＝(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋…＋(a58＋a60)＝15.因此，该数列的前60项和S60＝465＋15＝480.10．设f(x)＝，若S＝f()＋f()＋…＋f()，则S＝________.[答案]1008[解析] f(x)＝，∴f(1－x)＝＝，∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝1.S＝f()＋f()＋…＋f()，①S＝f()＋f()＋…＋f()，②①＋②得，2S＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＝2016，∴S＝＝1008.三、解答题11．(2015·湖北)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d＞1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.[答案](1)an＝2n－1，bn＝2n－1或an＝，bn＝9·()n－1(2)Tn＝6－[解析](1)由题意有，即解得或故或(2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②①－②可得Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，故Tn＝6－.12．(2015·广东桂城中学、中山一中摸底)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且a＋an＝2Sn.(1)求a1；(2)求数列{an}的通项；(3)若bn＝(n∈N*)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求证：Tn＜.[答案](1)1(2)an＝n(3)略[解析](1)解令n＝1，得a＋a1＝2S1＝2a1， a1＞0，∴a1＝1.(2)解 a＋an＝2Sn，①∴a＋an＋1＝2Sn＋1，②②－①，得(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0， an＞0，∴an＋1＋an＞0，∴an＋1－an＝1，∴an＝1＋1×(n－1)＝n.(3)证明由(2)知，bn＝＝.当n＝1时，b1＝1＜，不等式成立；...
