高中数学 第2章 推理与证明 2.1.1 合情推理应用案巩固提升 新人教B版选修2-2-新人教B版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

2.1.1合情推理[A基础达标]1．观察数列1，5，14，30，x，…，则x的值为()A．22B．33C．44D．55解析：选D.观察归纳得出，从第2项起，每一项都等于它的前一项与它本身项数的平方的和，即an＝an－1＋n2，所以x＝30＋52＝55.2．给出下列三个类比结论：①类比ax·ay＝ax＋y，则有ax÷ay＝ax－y；②类比loga(xy)＝logax＋logay，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③类比(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，则有(xy)z＝x(yz)．其中结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选C.根据指数的运算法则知ax÷ay＝ax－y，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin(α＋β)≠sinαsinβ，②不正确；根据乘法结合律知：(xy)z＝x(yz)，③正确．3．观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析：选B.可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…，故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…，故第n个式子中有2n－1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，故第n个式子应该是2n－1的平方，故可以得到n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.4．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x轴，y轴，z轴上的截距分别为m，n，c(mnc≠0)的平面方程为()A．＋＋＝1B．＋＋＝1C．＋＋＝1D．mx＋ny＋cz＝1答案：A5．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A．6n－2B．8n－2C．6n＋2D．8n＋2解析：选C.从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒1多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.6．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________________________．解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大7．观察下列不等式：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…照此规律，第五个不等式为________________．解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的算术平方根与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋＜.答案：1＋＋＋＋＋＜8．将全体正整数排成一个三角形数阵(如图)：按照以上排列的规律，第n(n≥3，n∈N＋)行从左向右的第3个数为________．解析：前(n－1)行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)＝(个)，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为.答案：9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an.解：因为Sn＝n2·an(n≥2)，a1＝1，所以S2＝4·a2＝a1＋a2，a2＝＝.S3＝9a3＝a1＋a2＋a3，a3＝＝＝.S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4，a4＝＝＝.所以猜想an＝.10．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：①三角形两边之和大于第三边．②三角形的面积S＝×底×高．③三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的.请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：①四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．②四面体的体积V＝×底面积×高．③四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.2[B能力提升]11．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()135791113151719212325272931…A．809B．853C．785D．893解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝...