1.3.1二项式定理课时过关·能力提升基础巩固1(x-y)n的二项展开式中,第r项的二项式系数为()A.CnrB.Cnr+1C.Cnr-1D.(−1)r−1Cnr-1解析:由展开式通项知Tr¿Cnr-1xn+1−r·(-y)r-1,则第r项的二项式系数为Cnr-1.答案:C2(x-13√x)12展开式中的常数项为()A.-1320B.1320C.-220D.220解析:Tk+1¿C12k·x12-k·(-13√x)k=(−1)kC12kx12-43k,令12−43k=0,得k=9.故T10=(-1)9C129=−220.答案:C3(2x+1x2)7的展开式中倒数第3项的系数是()A.C76·2B.C76·26C.C75·25D.C75·22解析:(2x+1x2)7的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T6¿C75·(2x)2·(1x2)5=C75·22·x-8.该项的系数为C75·22.答案:D4S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则S=()A.x4B.x4+1C.(x-2)4D.x4+4解析:S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1¿C40(x−1)4+C41(x−1)3+C42(x−1)2+C43(x−1)+C44=[(x−1)+1]4=x4,故选A.答案:A5(3√x+ax)12的展开式中的常数项为−220,则a的值为()A.1B.-1C.2D.-2解析:Tk+1¿C12k·x12-k3-k·ak. Tk+1为常数项,∴12-k3−k=0,∴k=3.∴C123·a3=-220,∴a=-1.答案:B6(x-1x)5的展开式中含x3项的二项式系数为()1A.-10B.10C.-5D.5解析:Tk+1¿C5k·x5-k(-1x)k=(−1)kC5k·x5-2k,令5-2k=3,则k=1.故含x3项的二项式系数为C51=5.答案:D7(x3+12√x)5的展开式中含x8的项的系数是¿(用数字作答)解析:展开式的通项公式Tk+1¿C5k·(x3)5-k·(12√x)k=C5k·2-k·x15-72k¿,5).令15−72k=8,得k=2,于是展开式中含x8的项的系数是C52·2-2¿52.答案:528若A=37+C72·35+C74·33+C76·3,B¿C71·36+C73·34+C75·32+1,则A-B=.解析:A-B=37−C71·36+C72·35−C73·34+C74·33−C75·32+C76·3−C77=(3−1)7=27=128.答案:1289在(2x2-13√x)8的展开式中,求:(1)第5项的二项式系数及系数;(2)含x2的项的系数.解:(1)因为T5¿C84(2x2)4(-13√x)4=C8424·x203,所以第5项的二项式系数是C84=70,第5项的系数是C84·24=1120.(2¿(2x2-13√x)8的通项是Tk+1¿C8k(2x2)8−k(-13√x)k=(-1)kC8k·28-k·x16-73k,根据题意得,16−73k=2,解得k=6,因此含x2的项的系数是(-1)6C86·28-6=112.10求证:32n+3-24n+37能被64整除.证明:32n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3¿8n+1+Cn+11·8n+…+Cn+1n·8+1)-24n+37=3×64¿8n-1+Cn+11·8n-2+…+Cn+1n-1¿+24Cn+1n−24n+40=64×3¿8n-1+Cn+11·8n-2+…+Cn+1n-1¿+64.显然上式是64的倍数,故原式能被64整除.能力提升1对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值是()2A.3B.6C.9D.21解析:由已知,x3=[2+(x-2)]3¿C30·23+C31·22·(x-2)+C32·2·(x-2)2+C33(x−2)3,所以a2¿C32·2=6.答案:B2若(1+√2¿5=a+b√2(a,b为有理数),则a+b等于()A.45B.55C.70D.80解析:由二项式定理,得(1+√2¿5=1+C51·√2+C52·(√2)2+C53·(√2)3+C54·(√2)4+C55·(√2)5=1+5√2+20+20√2+20+4√2=41+29√2,即a=41,b=29,故a+b=70.答案:C3(1−√x¿6(1+√x)4的展开式中含x的项的系数是()A.-4B.-3C.3D.4解析:方法一:(1−√x¿6的展开式的通项为C6m(−√x)m,(1+√x)4的展开式的通项为C4n(√x)n,其中m=0,1,2,…,6;n=0,1,2,3,4.令m2+n2=1,得m+n=2,于是(1−√x¿6(1+√x)4的展开式中含x的项的系数等于C60·(-1)0·C42+C61·(-1)1·C41+C62·(-1)2·C40=−3.方法二:(1−√x¿6(1+√x)4=[(1−√x)(1+√x)]4·(1−√x¿2=(1−x)4(1−2√x+x).于是(1−√x¿6(1+√x)4的展开式中含x的项的系数为C40·1+C41·(-1)1·1=-3.答案:B4设a∈Z,且0≤a<13,若512020+a能被13整除,则a等于()A.0B.1C.11D.12解析:由二项式定理,得512020+a=a+(1-13×4)2020=a+1−C20201(13×4)+C20202(13×4)2−…+C20202020(13×4)2020,显然当a+1=13k(k∈Z)时,512020+a能被13整除.又0≤a<13,则a=12.答案:D5若x>0,设(x2+1x)5的展开式中的第3项为M,第4项为N,则M+N的最小值为.解析:由T3¿C52(x2)3(1x)2=54x,T4¿C53(x2)2(1x)3=52x,则M+N¿5x4+52x≥2√258=5√22.3当且仅当5x4=52x,即x¿√2时,等号成立.答案:5√226在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记含xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=.解析:在(1+x)6(1+y)4的展开式中,含x3y0项的系数是C63C40=...
