高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入单元测评（含解析）新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学试题VIP专享VIP免费

单元测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．“a＝0”是“复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.答案：B2．复数2＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a2－b2的值为()A．0B．1C．2D．－1解析：2＝＝－i＝a＋bi.所以a＝0，b＝－1，所以a2－b2＝0－1＝－1.答案：D3．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·是实数，则实数t等于()A.B.C．－D．－解析：z1·＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i，因为z1·是实数，所以4t－3＝0，所以t＝.答案：A4．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为()A．3＋iB．3－iC．1－3iD．－1＋3i解析：OC＝OA＋OB＝1＋2i－2＋i＝－1＋3i，所以C点对应的复数为－1＋3i.答案：D5．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在()A．实轴上B．虚轴上C．直线y＝±x(x≠0)上D．以上三项都不对1解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi. z2为纯虚数，∴∴y＝±x(x≠0)．答案：C6．已知复数z＝x＋yi，满足|z－1|＝x，那么z在复平面上对应的点(x，y)的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析： z＝x＋yi(x，y∈R，x≥)，满足|z－1|＝x，∴(x－1)2＋y2＝x2，故y2＝2x－1.答案：D7．当z＝－时，z100＋z50＋1的值等于()A．1B．－1C．iD．－i解析： z2＝2＝＝－i.∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i50－i25＋1＝－i.答案：D8．复数z在复平面内对应的点为A，将点A绕坐标原点，按逆时针方向旋转，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到B点，此时点B与点A恰好关于坐标原点对称，则复数z为()A．－1B．1C．iD．－i解析：设z＝a＋bi，B点对应的复数为z1，则z1＝(a＋bi)i－1－i＝(－b－1)＋(a－1)i， 点B与点A恰好关于坐标原点对称，∴∴∴z＝1.答案：B9．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋1＋i|的最小值是()A．1B.C．2D.解析：|z＋i|＋|z－i|＝2，则点Z在以(0,1)和(0，－1)为端点的线段上，|z＋1＋i|表示点Z到点(－1，－1)的距离．由图知最小值为1.2答案：A10．设z1，z2是复数，则下列结论中正确的是()A．若z＋z＞0，则z＞－zB．|z1－z2|＝C．z＋z＝0⇔z1＝z2＝0D．|z|＝|1|2解析：A错，反例：z1＝2＋i，z2＝2－i；B错，反例：z1＝2＋i，z2＝2－i；C错，反例：z1＝1，z2＝i；D正确，z1＝a＋bi，则|z|＝a2＋b2，||2＝a2＋b2，故|z|＝||2.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．在复平面内，已知复数z＝x－i所对应的点都在单位圆内，则实数x的取值范围是__________．解析： z对应的点Z都在单位圆内，∴|OZ|＜1，即＜1.∴x2＋＜1，∴x2＜，∴－＜x＜.答案：－＜x＜12．定义运算＝ad－bc，则对复数z＝x＋yi(x，y∈R)符合条件＝3＋2i的复数z等于__________．解析：由定义运算，得＝2zi－z＝3＋2i，则z＝＝＝－i.答案：－i13．设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝__________.解析：＋＝⇒＋＝⇒x(1＋i)＋y(1＋2i)＝(1＋3i)⇒解得所以x＋y＝4.答案：414．已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z·z0＝3z＋z0，则复数z＝__________.解析：z＝＝＝＝1－i.答案：1－i三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知复数z1满足(z1－2)i＝1＋i，复数z2的虚部为2，且z1·z2为实数，求z2.解：由(z1－2)i＝1＋i得，z1－2＝＝(1＋i)(－i)＝1－i，∴z1＝3－i.(6分)依题意可设z2＝x＋2i(x∈R)，则z1·z2＝(3－i)(x＋2i)＝3x＋2＋(6－x)i为实数，∴x＝6，∴z2＝6＋2i.(12分)16．(12分)设z1是方程x2－6x＋25＝0的一个根．(1)求z1；(2)设z2＝a＋i(其中i为虚数单位，a∈R)，若z2的共轭复数满足|z·|＝125，求z.解：(1)因为Δ＝62－4×25＝－64，所以z1＝3－4i或z1＝3＋4i.(4分)3(2)由|(3±4i)3·(a－i)|＝625，得125＝125，a＝±2.(8分)当a＝－2时，z＝(－2＋i)2＝3－4i；(10分)当a＝2时，z＝(2＋i)2＝3＋4i.(12分)17...