二极坐标系课后篇巩固探究A组1.在极坐标系中,点(-2,-2)的一个极坐标可以是()A.(2,π4)B.(2,5π4)C.(2√2,π4)D.(2√2,5π4)解析ρ=√(-2)2+(-2)2=2√2,tanθ=1,且点在第三象限,可取θ=5π4,故极坐标可以是(2√2,5π4).答案D2.下列的点在极轴所在直线的上方的是()A.(3,0)B.(3,7π6)C.(4,7π4)D.(4,17π4)解析由极坐标的定义可得点(3,0)在极轴上,点(3,7π6),(4,7π4)在极轴所在直线的下方,点(4,17π4)在极轴所在直线的上方,故选D.答案D3.将点的直角坐标(-2,2√3)化为极径ρ是正值,极角在0到2π之间的极坐标是()A.(4,2π3)B.(4,5π6)C.(4√3,π6)D.(4√3,π3)答案A4.下列极坐标对应的点中,在直角坐标平面的第三象限的是()A.(3,4)B.(4,3)C.(3,5)D.(5,6)解析x=ρcosθ,y=ρsinθ,对选项A来说,x=3cos4<0,y=3sin4<0,满足在第三象限,故选A.答案A5.若A,B两点的极坐标分别为A(4,0),B(4,π2),则线段AB的中点的极坐标为()A.(2√2,π4)B.(√2,π4)C.(4,π4)D.(2,π4)解析由题意知点A,B的直角坐标分别为(4,0),(0,4),则线段AB的中点的直角坐标为(2,2).由ρ2=x2+y2,得ρ=2√2.因为tanθ=22=1,且点(2,2)在第一象限,所以θ=π4.故线段AB的中点的极坐标为(2√2,π4).答案A6.在极坐标系中,点(3,-π3)关于极轴所在直线对称的点的极坐标是.解析依题意知所求的点满足ρ=3,θ=π3,所以所求极坐标是(3,π3).答案(3,π3)7.以极点为原点,极轴的方向为x轴的正方向,取相同的单位长度,建立平面直角坐标系,则极坐标M(2016,5π3)表示的点在第象限.解析由于x=ρcosθ=2016cos5π3=1008,y=ρsinθ=2016sin5π3=-1008√3,故点(1008,-1008√3)在第四象限.答案四8.导学号73574008若点M的极坐标为(6,11π6),则点M关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的直角坐标为.解析 点M的极坐标为(6,11π6),∴x=6cos11π6=6×√32=3√3,y=6sin11π6=6×(-12)=-3,∴点M的直角坐标为(3√3,-3).故点M关于y轴对称的点的直角坐标为(-3√3,-3).答案(-3√3,-3)9.将下列各点的极坐标化成直角坐标:(1)(√2,π4);(2)(6,-π3);(3)(5,π).解(1)x=√2·cosπ4=1,y=√2·sinπ4=1,所以点(√2,π4)的直角坐标为(1,1).(2)x=6·cos(-π3)=3,y=6·sin(-π3)=-3√3,所以点(6,-π3)的直角坐标为(3,-3√3).(3)x=5·cosπ=-5,y=5·sinπ=0,所以点(5,π)的直角坐标为(-5,0).10.将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).(1)(√3,3);(2)(-3,0).解(1)ρ=√(√3)2+32=2√3,tanθ=3√3=√3.又因为点在第一象限,所以θ=π3.所以点(√3,3)的极坐标为(2√3,π3).(2)ρ=√(-3)2+02=3,由题易知极角为π,所以点(-3,0)的极坐标为(3,π).11.导学号73574009在极坐标系中,B(3,π4),D(3,7π4),试判断点B,D的位置是否具有对称性,并求出点B,D关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,θ∈[0,2π)).解由B(3,π4),D(3,7π4),知|OB|=|OD|=3,极角π4与7π4的终边关于极轴对称.所以点B,D关于极轴对称.设点B(3,π4),D(3,7π4)关于极点的对称点分别为E(ρ1,θ1),F(ρ2,θ2),且ρ1=ρ2=3.当θ∈[0,2π)时,θ1=5π4,θ2=3π4,故E(3,5π4),F(3,3π4)即为所求.B组1.在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系.若点P的直角坐标与其极坐标在数值上相同,则点P在()A.x轴上B.y轴上C.射线Ox上D.射线Oy上答案C2.导学号73574010在极坐标系中,若等边三角形ABC的两个顶点是A(2,π4),B(2,5π4),则顶点C的坐标可能是()A.(4,3π4)B.(2√3,3π4)C.(2√3,π)D.(3,π)解析如图所示,由题设可知A,B两点关于极点O对称,即O是AB的中点.设点C的极坐标为(ρ,θ),又|AB|=4,△ABC为等边三角形,所以ρ=|OC|=2√3.因为∠AOC=π2,所以在[0,2π)内点C的极角θ=π4+π2=3π4或θ=5π4+π2=7π4,即点C的极坐标为(2√3,3π4)或(2√3,7π4).答案B3.已知点P在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,则当ρ>0,θ∈[0,2π)时,点P的极坐标为.解析 点P(x,y)在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,∴x=-2,且y=-2.∴ρ=√x2+y2=2√2.又tanθ=yx=1,且θ∈[0,2π),∴θ=5π4.因此,点P的极坐标为(2√2,5π4).答案(2√2,5π4)4.如图,点P的极坐标为.解析如图所示,连接OP. OQ是圆的直径...
