3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义A级基础巩固一、选择题1．设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，则m等于()A．B．3C．－1D．－1或3解析：z＝(2m2＋m－1)＋(3＋2m－m2)i，依题意，2m2＋m－1＝0，且3＋2m－m2≠0，解得m＝.答案：A2．设a，b∈R，z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为()A．1＋iB．2＋iC．3D．－2－i解析：由于z1＋z2＝(a＋2)＋(b＋1)i＝0.所以得故a＋bi＝－2－i.答案：D3．在复平面内，复数z1＝i，z2＝i－2，z＝z1＋z2，则复数z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为z＝z1＋z2＝i＋i－2＝－2＋i，所以实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限．答案：B4．若在复平面上的▱ABCD中，AC对应复数为6＋8i，BD对应复数为－4＋6i，则DA对应的复数是()A．2＋14iB．1＋7iC．2－14iD．－1－7i解析：设AB，AD对应的复数分别为z1与z2，则由复数加减法的几何意义，得所以z2＝1＋7i，因此向量DA对应的复数为－z2＝－1－7i.答案：D5．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA，OB为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．答案：B二、填空题16．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限．解析：由z＝3－4i，得|z|＝＝5，所以z－|z|＋(1－i)＝－1－5i在复平面内对应点(－1，－5)在第三象限．答案：三7．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量OA，OB对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则CD对应的复数是________．解析：因为OA，OB对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，所以BA对应的复数为(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i.又在平行四边形ABCD中，CD＝BA，故CD对应的复数为4－2i.答案：4－2i8．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________．解析：因为z＋3i是纯虚数，所以设z＋3i＝bi(b∈R，b≠0)，则z＝(b－3)i.又|z|＝3，所以|b－3|＝3，解得b＝6，因此z＝(6－3)i＝3i.答案：3i三、解答题9．设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求m的值．解：z＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.(1)若z为实数，则m2－3m＋2＝0，所以m＝1或2.(2)若z为纯虚数，则解得m＝－.故当m＝－时，z为纯虚数．10．在复平面内，A，B，C三点对应的复数为1，2＋i，－1＋2i.(1)求向量AB，AC，BC对应的复数；(2)判定△ABC的形状．解：(1)OA＝(1，0)，OB＝(2，1)，OC＝(－1，2)，所以AB＝OB－OA＝(1，1)，对应的复数为1＋i，AC＝OC－OA＝(－2，2)，对应的复数为－2＋2i，BC＝OC－OB＝(－3，1)，对应的复数为－3＋i.(2)因为|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝，所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．B级能力提升1．满足|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上所对应的点的轨迹是()A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－i|＝|3＋4i|，2所以＝＝5，则x2＋(y－1)2＝25，因此复数z在复平面上对应点的轨迹是以(0，1)为圆心，以5为半径的圆．答案：C2．复数z1＝1＋icosθ，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为________．解析：|z1－z2|＝|(1＋icosθ)－(sinθ－i)|＝＝＝≤＝＋1.答案：＋13．已知复平面内平行四边形ABCD，点A对应的复数为2＋i，向量BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，求：(1)点C，D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．解：(1)因为向量BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，所以向量AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC＝OA＋AC，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为AD＝BC，所以向量AD对应的复数为3－i，即AD＝(3，－1)．设D(x，y)，则AD＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，所以解得所以点D对应的复数为5.(2)因为BA·BC＝|BA||BC|cosB，所以cosB＝＝＝＝，sinB＝＝，所以S＝|BA||BC|sinB＝××＝7，所以平行四边形ABCD的面积为7.3
