高中数学 5.2 含有绝对值的不等式 5.2.2 含有绝对值的不等式的证明同步测控 苏教版选修4-5-苏教版高二选修4-7数学试题VIP免费

5.2.2含有绝对值的不等式的证明同步测控我夯基,我达标1.设|x+z|＜|y|(x、y、z∈R),则()A.|x|＞|z|-|y|B.|x|＞|y|-|z|C.|x|＜|z|-|y|D.|x|＜|y|-|z|解析:∵|x+z|＜|y|,而|x+z|≥|x|-|z|,∴|x|-|z|＜|y|,即|x|＜|y|+|z|或|z|-|x|＜|y|,即|x|＞|z|-|y|.答案:A2.若|x-a|＜ε,|y-2a|＜ε,则下列不等式成立的是()A.|x-y|＜εB.|x-y|＞εC.|x-2y|＜3εD.|x-2y|＜2ε解析:∵|y-2a|＜ε,∴|2y-a|＜2ε.∴|(x-a)-(2y-a)|=|x-2y|＜|x-a|+|2y-a|＜ε+2ε=3ε.答案:C3.a、b∈R,ab＜0,则有()A.|a+b|＞|a-b|B.|a+b|＜|a-b|C.|a|+|b|＞|a-b|D.|a|-|b|＞|a-b|解析:取特殊值a=3,b=-2逐项验证即可.答案:B4.已知f(x)=21x,a、b∈R,且a≠b,若A=|f(a)-f(b)|,则()A.A≤|a-b|B.A≥|a-b|C.A＜|a-b|D.A＞|a-b|解析:A=|f(a)-f(b)|=|2211ba|=||11||11||222222bababababa≤2211||||baba|a-b|＜|a-b|.答案:C5.若x＜5,n∈N,则下列不等式成立的是()A.|xlg1nn|＜5|lg1nn|B.|x|lg1nn＜5lg1nnC.xlg1nn＜5|lg1nn|D.|x|lg1nn＜5|lg1nn|解析:∵0＜1nn＜1,1∴lg1nn＜0.由x＜5并不能确定|x|与5的关系,∴可以否定A、B、C.而|x|lg1nn＜0,∴D成立.答案:D6.已知a、b、c∈R,且a＞b＞c,则有()A.|a|＞|b|＞|c|B.|ab|＞|bc|C.|a+b|＞|b+c|D.|a-c|＞|a-b|解析:由a＞b＞c不能确定a、b、c的正、负,即不能确定它们的绝对值的大小,∴A、B、C都不确定.但a-c＞0,a-b＞0,且a-c=(a-b)+(b-c)＞a-b＞0,∴|a-c|＞|a-b|.答案:D7.若|a-c|＜b,则下列不等式不成立的是()A.|a|＜|b|+|c|B.|c|＜|a|+|b|C.b＞||c|-|a||D.b＜||a|-|c||解析:∵||a|-|c||≤|a-c|＜b,∴选D.答案:D8.已知h＞0,a、b∈R,命题甲:|a-b|＜2h,命题乙:|a-1|＜h且|b-1|＜h,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:∵|a-1|＜h,|b-1|＜h,∴|a-b|=|(a-1)-(b-1)|≤|a-1|+|b-1|＜2h成立.但由|a-b|＜2h成立,不一定有|a-1|＜h且|b-1|＜h,∴甲是乙的必要不充分条件.答案:B我综合，我发展9.不等式||||||baba≥1成立的充要条件是_______________.解析:||||||baba≥1.|||||||,|||bababa由|a+b|≥||a|-|b||≥|a|-|b|恒成立,∴|a|＞|b|.答案:|a|＞|b|10.设|a|＜1、|b|＜1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系为________________.解析:当a+b与a-b同号时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|＜2;当a+b与a-b异号时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|＜2.综上,可知|a+b|+|a-b|＜2.答案:|a+b|+|a-b|＜2211.定义运算x·y=,,,,yxyyxx若|m-1|·m=|m-1|,则m的取值范围为_______________.解析:由|m-1|·m=|m-1|和定义,知|m-1|≤m,即-m≤m-1≤m,∴m≥21.答案:m≥2112.已知|a|≠|b|,m=||||||baba,n=||||||baba,则m、n之间的大小关系为_______________.解析:m=||||||baba≤||||||||baba=1,而n=||||||baba≥||||||||baba=1.∴m≤n.答案:m≤n13.已知f(x)=x2-2x+7且|x-m|＜3,求证:|f(x)-f(m)|＜6|m|+15.证明:∵f(x)=x2-2x+7,∴|f(x)-f(m)|=|(x2-2x+7)-(m2-2m+7)|=|(x2-m2)-2(x-m)|=|x-m|·|x+m-2|＜3|(x-m)+2m-2|≤3(|x-m|+|2m-2|)＜3(3+|2m-2|)≤9+6(|m|+1)=6|m|+15.∴不等式成立.我创新，我超越14.已知a、b、c是实数,f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.分析:已知条件当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,可取特殊值代入,如|f(0)|、|f(1)|、|f(-1)|;而g(x)为一直线,要证|g(x)|≤2,只需证|g(1)|≤2且|g(-1)|≤2即可.证明:(1)∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|c|=|f(0)|≤1.(2)∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1.∴|a+b|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2,即|g(1)|≤2;|-a+b|=|a-b|=|f(-1)-c|≤|f(-1)|+|c|≤2,即|g(-1)|≤2.∵函数g(x)=ax+b的图象是一条直线,∴|g(x)|在［-1,1］上的最大值只能在x=-1或x=1处取得.∴当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.15.若a、b∈R,α,β是方程x2+ax+b=0的两根,且|a|+|b|＜1,求证:|α|＜1且|β|＜1.分析:本题a、b是方程的系数,α、β是方程的根,可由二次方程根与系数之间的关系联系转化,再由绝对值不等式的性质进行变形证出.证明:∵,,ba由|a|+|b|=|α+β|+|αβ|＜1,得|α+β|＜1-|αβ|.又∵|α+β|≥|α|-|β|,∴|α|-|β|＜1-|αβ|=1-|α|·|β|.∴|α|(|β|+1)-(|β|+1)＜0.3∴(|α|-1)(|β|+1)＜0.∵|β|+1＞0,∴|α|-1＜0.∴|α|＜1.又∵|α+β|≥|β|-|α|,∴|β|-|α|＜1-|αβ|=1-|α|·|β|.∴|β|(|α|+1)-(|α|+1)＜0.∴(|β|-1)(|α|+1)＜0.∵|α|+1＞0,∴|β|-1＜0,即|β|＜1.4