第二章圆锥曲线与方程单元质量评估(二)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设P是椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若|PF1|等于4,则|PF2|等于()A.22B.21C.20D.13【解析】选A.由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=26,因为|PF1|=4,所以|PF2|=22.2.(2015·广东高考)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.因为所求双曲线的右焦点为F2且离心率为e==,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为-=1.【补偿训练】与椭圆+=1有相同焦点,并且经过点(2,-)的双曲线的标准方程为__________.【解析】由+=1知焦点F1(-,0),F2(,0).依题意,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).所以a2+b2=5,①又点(2,-)在双曲线-=1上,所以-=1.②联立①②得a2=2,b2=3,1因此所求双曲线的方程为-=1.答案:-=13.已知离心率为e的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个公共点,若∠F1PF2=,则e等于()A.B.C.D.3【解题指南】在△F1F2P中利用余弦定理列方程,然后利用定义和已知条件消元.【解析】选C.设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,焦距为2c,|PF1|=m,|PF2|=n,且不妨设m>n,由m+n=2a1,m-n=2a2得m=a1+a2,n=a1-a2.又∠F1PF2=,所以4c2=m2+n2-mn=+3,所以+=4,即+=4,解得e=.【补偿训练】(2017·佛山高二检测)已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【解析】选D.依题意,椭圆的焦距和短轴长相等,即b=c,所以a2-c2=c2,得e=.故选D.4.设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于()A.4B.8C.24D.48【解析】选C.由3|PF1|=4|PF2|知|PF1|>|PF2|,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=8,|PF2|=6,又c2=a2+b2=1+24=25,所以c=5,所以|F1F2|=10,2所以△PF1F2为直角三角形,=|PF1||PF2|=24.【拓展延伸】圆锥曲线中的焦点三角形问题解法(1)△PF1F2由两焦点和曲线上一点形成,我们把这种三角形叫焦点三角形.焦点三角形问题的主要类型有:周长、面积、角度等,通常会用到圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、面积公式等.(2)焦点三角形的面积主要有两种求法:=r1r2·sin∠F1PF2和=·2c·|yP|.(3)涉及焦点、顶点、曲线上点(顶点以外)等问题,抓住几个特征三角形,举一反三.这是一个考查重点,容易出现离心率的值(或范围)的运算.5.椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离是()A.3B.C.2D.【解析】选D.设直线方程为x+2y+b=0,得8y2+4by+b2-16=0,Δ=16b2-4×8×(b2-16)=0得b=±4.d==.6.过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.设右焦点为F,由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,3故a=2,b2=12,所以方程为-=1.7.(2017·全国乙卷)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10【解析】选A.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立方程得x2-2x-4x+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),所以x1+x2=-=,同理直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=,由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=++4=++8≥2+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2]B.(1,2)C.[2,+∞)D.(2,+∞)【解析】选C.如图所示,要使过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率,所以≥,离心率e2==≥4,所以e≥2.49.如果椭圆+=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是()A.x-2y=0B.x+2y-4=0C.2x+3y-12=0D.x+2y-8=0【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则两式相减再变形得+k=0,又弦中点为(4,2),故k=-,故这条弦所在的直线方程y-2=-(x-4),整理得x+2y-8=0.10.若抛物线y2=8x的焦点是F,...
