第25讲三角函数的图象与性质(一)1．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为(B)A．1B.C.D．2|MN|＝|sina－cosa|＝|sin(a－)|≤.2．函数f(x)＝sinx＋cos(＋x)的最大值为(C)A．2B.C．1D.因为f(x)＝sinx＋cosx－sinx＝sinx＋cosx＝sinxcos＋cosxsin＝sin(x＋)．所以f(x)的最大值为1.3．(2016·新课标卷Ⅱ)函数f(x)＝cos2x＋6cos(－x)的最大值为(B)A．4B．5C．6D．7因为f(x)＝cos2x＋6cos(－x)＝cos2x＋6sinx＝1－2sin2x＋6sinx＝－2(sinx－)2＋，又sinx∈[－1,1]，所以当sinx＝1时，f(x)取得最大值5.故选B.4．(2017·新课标卷Ⅲ)函数f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)的最大值为(A)A.B．1C.D.(方法一)因为f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)＝(sinx＋cosx)＋cosx＋sinx＝sinx＋cosx＋cosx＋sinx＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，所以当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.(方法二)因为(x＋)＋(－x)＝，所以f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)＝sin(x＋)＋cos(－x)＝sin(x＋)＋sin(x＋)＝sin(x＋)≤.所以f(x)max＝.5．函数f(x)＝cos2x＋sinx在区间[－，]上的最小值为.f(x)＝1－sin2x＋sinx＝－(sinx－)2＋，因为x∈[－，]，所以－≤sinx≤，所以当x＝－，即sinx＝－时，f(x)min＝1－－＝.6．如图，半径为R的圆的内接矩形周长的最大值为4R.设∠BAC＝θ，周长为p，则p＝2AB＋2BC＝2(2Rcosθ＋2Rsinθ)＝4Rsin(θ＋)≤4R，当且仅当θ＝时取等号．所以周长的最大值为4R.7．(2015·天津卷)已知函数f(x)＝sin2x－sin2(x－)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－，]上的最大值和最小值．(1)由已知，有f(x)＝－＝(cos2x＋sin2x)－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin(2x－)．所以f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，且f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝，所以f(x)在区间[－，]上的最大值为，最小值为－.8．(2016·湖北省八校第二次联考)若f(x)＝2cos(2x＋φ)(φ>0)的图象关于直线x＝对称，且当φ取最小值时，∃x0∈(0，)，使得f(x0)＝a，则a的取值范围是(D)A．(－1,2]B．[－2，－1)C．(－1,1)D．[－2,1)因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，因为φ>0，所以φmin＝，此时f(x)＝2cos(2x＋)．因为x0∈(0，)，所以2x0＋∈(，)，所以－1≤cos(2x0＋)<，所以－2≤2cos(2x0＋)<1，即－2≤f(x0)<1，因为f(x0)＝a，所以－2≤a<1，故选D.9．若f(x)＝2sinωx(其中0<ω<1)在区间[0，]上的最大值为，则ω＝.依题意有0≤ωx≤ω<，所以f(x)在[0，]上单调递增，所以f(x)max＝f()＝2sinω＝，所以ω＝.10．已知函数f(x)＝sin2ωx＋sinωxsin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围．(1)f(x)＝＋sin2ωx＝sin2ωx－cos2ωx＋＝sin(2ωx－)＋.因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin(2x－)＋.因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，所以－≤sin(2x－)≤1，因此0≤sin(2x－)＋≤.即f(x)在区间[0，]上的取值范围为[0，]．
