高考数学大二轮复习 冲刺经典专题 中难提分突破特训（六）文-人教版高三全册数学试题VIP免费

中难提分突破特训(六)1．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点，连接CG，EF，BG.(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积．解(1)证明：∵AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC，∵G为AD的中点，∴AD⊥CG，BG⊥AD，CG∩BG＝G，∴AD⊥平面BCG，∵E，F分别为AC，DC的中点，∴EF∥AD，∴EF⊥平面BCG1.(2)过E作EO⊥BC于点O，连接GE，∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，∴OE⊥平面BCD，∵EG∥CD，∴EG∥平面BCD，∴G到平面BCD的距离即为OE，易得OE＝，∴V三棱锥D－BCG＝V三棱锥G－BCD＝×S△BCD×OE＝××2×2×sin120°×＝.2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且(b2＋c2－a2)＝4S.(1)求角A的大小；(2)若a＝，当b＋2c取得最大值时，求cosB.解(1)由已知(b2＋c2－a2)＝4S＝2bcsinA，由余弦定理得2bccosA＝2bcsinA，所以tanA＝，因为A∈(0，π)，故A＝.(2)由正弦定理得＝＝，即b＝2sinB，c＝2sinC，因此b＋2c＝2sinB＋4sinC＝2＝4sinB＋2cosB＝2sin(B＋φ)，其中φ∈，tanφ＝，则sinφ＝＝，故b＋2c≤2，当且仅当B＋φ＝，即B＝－φ时取等号，故此时cosB＝sinφ＝.3．为研究男、女生的身高差异，现随机从高二某班选出男生、女生各10人，并测量他们的身高，测量结果如下(单位：厘米)：男：164178174185170158163165161170女：165168156170163162158153169172(1)根据测量结果完成身高的茎叶图(单位：厘米)，并分别求出男、女生身高的平均值；(2)请根据测量结果得到20名学生身高的中位数h(单位：厘米)，将男、女生身高不低于h和低于h的人数填入下表中，并判断是否有90%的把握认为男、女生身高有差异？人数男生女生身高≥h身高＜h参照公式：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828(3)若男生身高低于165厘米为偏矮，不低于165厘米且低于175厘米为正常，不低于175厘米为偏高，假设可以用测量结果的频率代替概率，现用分层抽样的方法从这10名男生中选出5人，再从这5名男生中任意选出2人，求恰有1人身高属于正常的概率．解(1)茎叶图为：平均值是将所有数据加到一起，除以数据的个数得到的结果，根据这一公式将数据代入公式，得到平均身高：男生168.8，女生163.6.(2)根据中位数的概念得到h＝165.人数男生女生身高≥h65身高＜h45K2＝≈0.202<2.706.所以没有90%的把握认为男、女生身高有差异．(3)由测量结果可知，身高属于偏矮的男生频率为0.4，身高属于正常的男生频率为0.4，身高属于偏高的男生频率为0.2，故用分层抽样的方法选出的5人中，身高偏矮的有2人，记为A，B，身高正常的有2人，记为c，d，身高偏高的有1人，记为E，则从这5人中任意选出2人，所有情况为AB，Ac，Ad，AE，Bc，Bd，BE，cd，cE，dE，共10种，恰有1人身高属于正常的有Ac，Ad，Bc，Bd，cE，dE，共6种，故恰有1人身高属于正常的概率为.4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，直线l：(t为参数)．(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，点P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．解(1)由ρsin2θ＝2acosθ(a>0)两边同乘以ρ得，曲线C：y2＝2ax，由直线l：(t为参数)，消去t，得直线l：x－y＋2＝0.(2)将代入y2＝2ax得，t2－2at＋8a＝0，由Δ>0得a>4，设M，N，则t1＋t2＝2a，t1t2＝8a，∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|t1－t2|2＝|t1t2|，∴(2a)2－4×8a＝8a，∴a＝5.5．已知函数f(x)＝2|x＋a|＋|3x－b|.(1)当a＝1，b＝0时，求不等式f(x)≥3|x|＋1的解集；(2)若a>0，b>0，且函数f(x)的最小值为2，求3a＋b的值．解(1)当a＝1，b＝0时，由f(x)≥3|x|＋1，得2|x＋1|≥1，所以|x＋1|≥，解得x≤－或x≥－，所以所求不等式的解集为∪.(2)解法一：因为f(x)＝2|x＋a|＋|3x－b|＝所以函数f(x)在上为减函数，在上为增函数，所以当x＝时，函数f(x)取得最小值，为f＝2＝2.因为a>0，b>0，所以3a＋b＝3.解法二：f(x)＝2＋≥2＋，等号在－a≤x≤时成立，因为当x＝时，的最小值为0，所以f(x)＝2＋≥2，等号在x＝时成立，所以f(x)的最小值为2，从而2＝2.因为a>0，b>0，所以3a＋b＝3.