课时跟踪检测(二十八)解三角形的实际应用一、题点全面练1.如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°解析：选D由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.2．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)m解析：选C tan15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，∴BC＝60tan60°－60tan15°＝120(－1)(m)．3．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150m解析：选A作出示意图如图所示，设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在Rt△BCD中，BC＝h，在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.4．地面上有两座相距120m的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为，且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为()A．50m,100mB．40m,90mC．40m,50mD．30m,40m解析：选B设高塔高Hm，矮塔高hm，在O点望高塔塔顶的仰角为β.则tanα＝，tan＝，根据三角函数的倍角公式有＝.①因为在两塔底连线的中点O望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O点望矮塔塔顶的仰角为－β，由tanβ＝，tan＝，得＝.②联立①②解得H＝90，h＝40.即两座塔的高度分别为40m,90m.5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该1小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为50m/min，则该扇形的半径的长度为()A．50mB．50mC．50mD．50m解析：选B设该扇形的半径为r(m)，连接CO，如图所示．由题意，得CD＝150(m)，OD＝100(m)，∠CDO＝60°，在△CDO中，由余弦定理，得CD2＋OD2－2CD·OD·cos60°＝OC2，即1502＋1002－2×150×100×＝r2，解得r＝50(m)．6.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝600.在△ACD中， tan∠DAC＝＝，∴DC＝600×＝600.答案：6007.如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C.测量得到：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A，B两点之间的距离为______.解析：依题意知，在△ACD中，∠DAC＝30°，由正弦定理得AC＝＝2，在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝＝3.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝10，解得AB＝.答案：8.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.在△ABD中，根据正弦定理可得＝，即＝，所以BD＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－)．在△BCD中，由正弦定理得＝，即＝，解得sin∠BCD＝－1.所以cosθ＝cos(∠BCD－90°)＝sin∠BCD＝－1.答案：－19．如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20km和50km.某时刻，B收到发自静止目标P...
