高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2.1 抛物线的简单几何性质课时作业（含解析）新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

第二章2.42.4.2第1课时请同学们认真完成练案[18]A级基础巩固一、选择题1．抛物线x2＝－8y的通径为线段AB，则AB长是(D)A．1B．2C．4D．8[解析]抛物线x2＝－8y，通径为|－8|＝8，∴选D．2．抛物线y2＝9x与直线2x－3y－8＝0交于A、B两点，则线段AB中点的坐标为(B)A．B．C．D．[解析]由2x－3y－8＝0得，x＝y＋4，代入y2＝9x中得y2－y－36＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为(x0，y0)，则y0＝＝，x0＝＝＝(y1＋y2)＋4＝y0＋4＝，故选B．3．已知抛物线C：y2＝12x，过点P(2,0)且斜率为1的直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为(C)A．22B．14C．11D．8[解析]抛物线C：y2＝12x，可得准线方程为：x＝－3，过点P(2,0)且斜率为1的直线l：y＝x－2，由题意可得：，可得x2－16x＋4＝0，直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点的横坐标为8，则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为8＋3＝11.4．(2020·福州市八县协作校期末联考)已知A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是(A)A．x＝－1B．x＝－3C．x＝－1或x－3D．y＝－1[解析]过A作准线的垂直AC，过F作AC的垂线，垂足分别为C，B.由题意∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，A点到准线的距离为：d＝|AB|＋|BC|＝p＋2＝4，解得p＝2，则抛物线的准线方程是x＝－1.故选A．5．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且抛物线的焦点恰好为△AOB的垂心，则直线AB的方程是(C)A．x＝pB．x＝pC．x＝pD．x＝3p[解析] |OA|＝|OB|，1∴A，B关于x轴对称．设A(x0，)，B(x0，－)． AF⊥OB，F，∴·＝－1，∴x0＝p.∴直线AB的方程是x＝p.6．(2019－2020学年房山区期末检测)如果抛物线y2＝4x的焦点为F，点M为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，那么的最大值是(D)A．B．C．D．1[解析]由抛物线的方程可得，焦点F(1,0)，准线方程为：x＝－1，A(－1,0)点在准线上，作MN⊥准线交于N，由抛物线的性质可得|MF|＝|MN|，所以＝，在三角形AMN中，＝cos∠MAF，所以的最大值时，∠FAM最小，当A，M，F三点共线时，∠FAM最小，所以这时的最大值为1，故选D．二、填空题7．(2019·北京文，11)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__(x－1)2＋y2＝4__.[解析] 抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，准线l为直线x＝－1，∴圆的圆心坐标为(1,0)．又 圆与l相切，∴圆心到l的距离为圆的半径，∴r＝2.∴圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.8．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则a＝__±2__.[解析]设正三角形边长为x.36＝x2sin60°，∴x＝12.当a>0时，将(6，6)代入y2＝ax得a＝2，当a<0时，将(－6，6)代入y2＝ax得a＝－2，故a＝±2.三、解答题9．已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；2(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．[解析](1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝|OM|.因为F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3，所以M(3,0)，故设A(3，m)．代入y2＝8x得m2＝24，所以m＝2或m＝－2，所以A(3,2)，B(3，－2)，所以|OA|＝|OB|＝，所以△OAB的周长为2＋4.10．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．[解析](1)因为抛物线方程为y2＝6x，所以准线方程为x＝－，F，又因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l的斜率为k＝tan60°＝，所以直线l的方程为y＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，消去y得x2－5x＋＝0，则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.(2)由抛物线的定义，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x＝－，所以中点M到准...