高二数学必修5讲义一正弦定理和余弦定理以及其应用一、知识与技能：掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。二、知识引入与讲解：Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=2R例1．（1）、已知ABC中，A，,求(=2)（2）、已知ABC中，，求（答案：1：2：3）Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用：例2．（1）、在ABC中，已知，，，求b及A（）（2）、在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。例3．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。分析：由余弦定理可知（注意：）解：，即，∴。练习：（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）例4．在ABC中，，，面积为，求的值分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理解：由得，则=3，即，用心爱心专心从而例题5、某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC==,则sinC=1-cosC=,sinC=,所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC-cos120sinC=在MAC中，由正弦定理得MC===35从而有MB=MC-BC=15答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。练习题：1、判断满足下列条件的三角形形状，（1）、acosA=bcosB（等腰三角形或直角三角形）（2）、sinC=（直角三角形）2、如图，在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=，求：（1）AB的长（2）、求四边形ABCD的面积解（1）因为BCD=75，ACB=45，所以ACD=30，又因为BDC=45，所以DAC=180-（75+45+30）=30，所以AD=DC=在BCD中，CBD=180-（75+45）=60，所以=，BD==用心爱心专心在ABD中，AB=AD+BD-2ADBDcos75=5,所以得AB=（2）S=ADBDsin75=同理，S=所以四边形ABCD的面积S=用心爱心专心
