习题课——椭圆的综合问题课后训练案巩固提升一、A组1.(2016四川绵阳高二月考)已知点M(√3,0),直线y=k(x+√3)与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则△ABM的周长为()A.4B.8C.12D.16解析:椭圆x24+y2=1的焦点在x轴上,a2=4,b2=1,c=√a2-b2=√3,所以椭圆的两个焦点为N(-√3,0),M(√3,0).又因为直线y=k(x+√3)必经过定点N(-√3,0),由椭圆的定义知△ABM的周长为|AB|+|AM|+|BM|=(|AN|+|AM|)+(|BN|+|BM|)=2a+2a=4a=8.答案:B2.(2016滨州二中月考)若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴的最小值为()A.1B.√2C.2D.2√2解析:设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),则当三角形面积最大时,三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点,∴S=12×2c×b=bc=1≤b2+c22=a22,∴a2≥2,∴a≥√2,∴长轴长2a≥2√2,故选D.答案:D3.若O和F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则⃗OP·⃗FP的最大值为()A.2B.3C.6D.8解析:由题意可知O(0,0),F(-1,0),设点P为(x,y),则⃗OP=(x,y),⃗FP=(x+1,y),所以⃗OP·⃗FP=x(x+1)+y2=x2+x+y2=x2+x+3-34x2=14x2+x+3=14(x+2)2+2.因为x∈[-2,2],所以当x=2时,⃗OP·⃗FP取最大值,(⃗OP·⃗FP)max=14×(2+2)2+2=6.答案:C4.已知椭圆的两个焦点分别是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.射线D.直线解析:因为|PQ|=|PF2|,且|PF1|+|PF2|=2a,所以|PQ|+|PF1|=2a.又因为F1,P,Q三点共线,所以|PF1|+|PQ|=|F1Q|,故|F1Q|=2a,即Q在以F1为圆心,以2a为半径的圆上.答案:A5.椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=,∠F1PF2的大小为.解析: a2=9,b2=2,∴c=√a2-b2=√9-2=√7,∴|F1F2|=2√7.又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a=6,∴|PF2|=2.1又由余弦定理得cos∠F1PF2=22+42-(2√7)22×2×4=-12,∴∠F1PF2=120°.答案:2120°6.椭圆x2+4y2=16被直线y=12x+1截得的弦长为.解析:由{x2+4y2=16,y=12x+1,消去y并化简得x2+2x-6=0.设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2,x1x2=-6.所以弦长|MN|=√1+k2|x1-x2|=√54[(x1+x2)2-4x1x2]=√54×(4+24)=√35.答案:√357.(2016广西柳州高二月考)焦点分别为(0,5√2)和(0,-5√2)的椭圆截直线y=3x-2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12,则此椭圆的方程为.解析:设此椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),且a2-b2=(5√2)2=50.①由{y2a2+x2b2=1,y=3x-2,得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0.故--12b2a2+9b2=2×12,即a2=3b2,②由①②得a2=75,b2=25,此时Δ>0,所以所求椭圆方程为y275+x225=1.答案:y275+x225=18.已知点A(-12,0),B是圆F:(x-12)2+y2=4(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,求动点P的轨迹方程.解:如图所示,由题意知,|PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2,所以|PA|+|PF|=2,且|PA|+|PF|>|AF|,所以动点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆,因此a=1,c=12,b2=34.故动点P的轨迹方程为x2+y234=1,即x2+43y2=1.9.已知椭圆x2b2+y2a2=1(a>b>0)的离心率为√22,且a2=2b.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:x-y+m=0与椭圆交于A,B两点,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.2解:(1)由题意,得{ca=√22,a2=2b,a2=b2+c2,解得{a=√2,b=1,c=1,故椭圆的方程为x2+y22=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).联立直线与椭圆的方程,得{x2+y22=1,x-y+m=0,即3x2+2mx+m2-2=0,所以x0=x1+x22=-m3,y0=x0+m=2m3,即M(-m3,2m3).又因为点M在圆x2+y2=5上,所以(-m3)2+(2m3)2=5,解得m=±3.10.导学号59254020已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2,离心率e=√22,连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4√2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设A,B是直线l:x=2√2上的不同两点,若⃗AF1·⃗BF2=0,求|AB|的最小值.解:(1)由题意,得{e=ca=√22,a2=b2+c2,S=12×2a×2b=4√2,解得{a=2,b=√2,c=√2.所以椭圆的标准方程为x24+y22=1.(2)由(1)知,F1(-√2,0),F2(√2,0).设A(2√2,y1),B(2√2,y2),则⃗AF1=(-3√2,-y1),⃗BF2=(-√2,-y2).由⃗AF1·⃗BF2=0,得y1y2+6=0,即y2=-6y1.不妨设y1>0,则|AB|=|y1-y2|=y1+6y1≥2√6,当y1=√6,y2=-√6时等号成立,所以|AB|的最小值是2√6.二、B组1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F...
