2.1曲线与方程课时过关·能力提升1.已知动点A在圆x2+y2=1上移动,则点A与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=1B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.(2x+3)2+4y2=1解析:设A,B连线的中点的坐标为(x,y),则动点A为(2x-3,2y),因为动点A在圆x2+y2=1上,所以(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1.答案:C2.“点M在曲线y2=8x上”是“点M的坐标满足方程y=-2√2x”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B3.已知曲线y=x2-x+2和y=x+m有两个不同的交点,则()A.m∈RB.m∈(-∞,1)C.m=1D.m∈(1,+∞)解析:已知条件可转化为联立后的方程组有两个不同的解.答案:D4.下列方程中表示相同曲线的一对方程是()A.x¿√y与y=x2B.y=x与xy=1C.y¿12lgx与y=lg√xD.y=x与x2-y2=0答案:C5.平面内与定点(-1,2)和直线3x+4y-5=0的距离相等的点的轨迹是.解析:因为(-1,2)在直线3x+4y-5=0上,所以满足条件的点的轨迹是过定点(-1,2)且垂直于3x+4y-5=0的直线.答案:直线6.方程(x+y-1¿√x-1=0表示的图形是.1解析:由方程(x+y-1¿√x-1=0,可得{x+y-1=0,x-1≥0或{x-1≥0,√x-1=0,即x+y-1=0(x≥1)或x=1.答案:直线x=1或直线x+y-1=0(x≥1)7.(1)方程(x-1)2+(x2+y2-1)2=0表示的图形为.(2)方程(x-1)2(x2+y2-1)2=0表示的图形为.解析:(1)∵(x-1)2+(x2+y2-1)2=0,∴{x-1=0,x2+y2-1=0,∴{x=1,y=0,即方程表示的图形是点(1,0).(2)∵(x-1)2(x2+y2-1)2=0,∴x-1=0或x2+y2-1=0,即方程表示的图形是直线x-1=0或圆x2+y2-1=0.答案:(1)点(1,0)(2)直线x-1=0或圆x2+y2-1=0★8.已知动点P在曲线2x2-y=0上移动,求点A(0,-1)与点P连线中点的轨迹方程.解:设AP的中点坐标为(x,y),则P(2x,2y+1)在2x2-y=0上,即2(2x)2-(2y+1)=0,整理,得2y=8x2-1.9.点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的轨迹方程.分析:设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x0,y0),由题意可得{2x=x0+3,2y=y0,所以{x0=2x-3,y0=2y,再代入圆的方程即可.解:由题意设点M(x,y),P(x0,y0),则{2x=x0+3,2y=y0,所以{x0=2x-3,y0=2y.又因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上,所以(2x-3)2+4y2=1,所以(x-32)2+y2=14.故点M的轨迹方程为(x-32)2+y2=14.★10.若直线x+y-m=0被曲线y=x2所截得的线段长为3√2,求m的值.分析:直线与曲线交于两点,可设出这两点的坐标,然后灵活应用根与系数的关系求解.2解:设直线x+y-m=0与曲线y=x2相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,联立直线与曲线方程,得{x+y-m=0,①y=x2.②将②代入①,得x2+x-m=0,所以{x1+x2=-1,x1x2=-m.所以|AB|¿√(x1-x2)2+(y1-y2)2=√1+(-1)2·|x1-x2|¿√2·√(x1+x2)2-4x1x2=√2·√1+4m=3√2,所以√1+4m=3,所以m的值为2.3
