课时提升作业五十八直线与圆锥曲线的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·晋中模拟)已知任意k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆+=1(m>0)恒有公共点,则实数m的取值范围是()A.(0,1)B.(0,5)C.[1,5)∪(5,+∞)D.[1,5)【解析】选C.直线y=kx+1过定点(0,1),只要(0,1)在椭圆+=1上或其内部即可.从而m≥1,又因为椭圆+=1中m≠5,所以m的取值范围是[1,5)∪(5,+∞).2.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·等于()A.-3B.-C.-或-3D.±【解析】选B.依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan45°(x-1),即y=x-1,代入椭圆方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=,所以两个交点坐标分别为(0,-1),,所以·=-,同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得·=-.3.设F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()A.B.C.D.【解析】选C.因为△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,所以|PF2|=|F2F1|.因为P为直线x=上一点,所以2=2c,所以e==.4.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使△PAB面积为的点P的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.直线l经过椭圆的两个顶点(1,0)和(0,2),故|AB|=.要使△PAB面积为,即··h=,则h=.联立y=-2x+m与椭圆方程,得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0,解得m=±2,即平移直线l到y=-2x±2时,与椭圆相切,它们与l的距离d=,均大于,故点P有4个.5.(2016·衡水模拟)设A,B为抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,且OA⊥OB,则△OAB面积的最小值为()A.p2B.2p2C.4p2D.6p2【解析】选C.当直线AB的斜率存在时,设直线AB方程为y=kx+b,由消去y得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=,x1x2=,y1y2=,由OA⊥OB,·=x1x2+y1y2=+=0,得b=-2pk,代入直线AB方程得y=k(x-2p),所以直线过定点(2p,0),再设直线l方程为x=my+2p,代入y2=2px得y2-2pmy-4p2=0,所以y1+y2=2pm,y1y2=-4p2,|y1-y2|=,所以S=·2p2·,所以当m=0时,S的最小值为4p2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则所以+=0,所以=-·.因为=-,x1+x2=2,y1+y2=2,所以-=-,所以a2=2b2.又因为b2=a2-c2,所以a2=2(a2-c2),所以a2=2c2,所以=.答案:【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:依题设可知:直线AB的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0,该直线方程与椭圆方程联立,消去x得:(4b2+a2)y2-12b2y+9b2-a2b2=0,由根与系数的关系可知:y1+y2=,又因为AB的中点为M(1,1),所以=2,解得a2=2b2,所以a2=2(a2-c2),所以a2=2c2,所以=.答案:7.(2016·郑州模拟)已知双曲线x2-=1上存在两点M,N关于直线y=x+m对称,且MN的中点在抛物线y2=18x上,则实数m的值为.【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),则由②-①得:(x2-x1)(x2+x1)=(y2-y1)(y2+y1),显然x1≠x2.所以·=3,即kMN·=3,因为M,N关于直线y=x+m对称,所以kMN=-1,所以y0=-3x0,又因为y0=x0+m,所以P,代入抛物线方程得:m2=18·,解得m=0或-8,经检验都符合.答案:0或-88.与抛物线y2=8x相切,倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A,B,那么过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为.【解析】由题意易知切点在x轴下方,由y2=8x得y=-2,则y′=-.令-=tan135°,解得x=2.代入y=-2,得y=-4,所以切点为(2,-4).故切线方程为y-(-4)=-(x-2),即x+y+2=0.故A(-2,0),B(0,-2).因为过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,即(x+1)2+(y+1)2=2,抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,圆心到准线的距离为d=1,所以过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为l=2=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·鹤壁模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,并且经过定点P.(1)求椭圆E的方程.(2)问是否存在直线y=-x+m,使直线与椭圆交于A,B两点,满足·=,若存在,求m的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意:e==且+=1,又c2=a2-b2,解得a2=4,b2=1,即椭圆E的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与椭圆方程得x⇒2+4(m-x)2-4=05x⇒2-8mx+4m2-4=0.(*)所以x1+x2=,x1x2=,y1y2=(m-x1)(m-x...
