习题课——双曲线的综合问题课后训练案巩固提升一、A组1.设P是双曲线x2a2−y29=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|=()A.1或5B.7C.8D.9解析:因为双曲线x2a2−y29=1的渐近线方程为y=±3ax,而已知一条渐近线方程为3x-2y=0,所以a=2.根据双曲线的定义||PF1|-|PF2||=4,又|PF1|=3,从而解得|PF2|=7,或|PF2|=-1(舍去).答案:B2.设F1,F2是双曲线C:x216−y2b2=1(b>0)的两个焦点,P是双曲线C上一点,若∠F1PF2=90°,且△PF1F2的面积为9,则C的离心率等于()A.53B.54C.2D.52解析:由已知得{||PF1|-|PF2||=8,|PF1|2+|PF2|2=4(16+b2),12·|PF1|·|PF2|=9,解得b2=9,于是离心率e=√16+94=54.答案:B3.设F1,F2是双曲线x24-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线上,当△F1PF2的面积为1时,⃗PF1·⃗PF2的值为()A.0B.1C.12D.2解析:不妨设P(xP,yP)(xP,yP>0),由12×2c×yP=1,得yP=√55,∴P(2√305,√55).∴⃗PF1=(-√5-2√305,-√55),⃗PF2=(√5-2√305,-√55),∴⃗PF1·⃗PF2=0.答案:A4.设F1,F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使|OP|=|OF1|(O为坐标原点),且|PF1|=√3|PF2|,则双曲线的离心率为()A.√3-12B.√3-1C.√3+12D.√3+1解析: |OP|=|OF1|,|OF1|=|OF2|,∴PF1⊥PF2.设|PF2|=d,则|PF1|=√3d,1由PF1⊥PF2,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即(√3d)2+d2=(2c)2,∴d=c.又点P在双曲线的右支上,∴|PF1|-|PF2|=2a,即√3d-d=2a.∴双曲线的离心率e=2c2a=2d√3d-d=√3+1.答案:D5.已知双曲线C:x2-y24=1,过点P(1,1)作直线l,使l与C有且只有1个公共点,则满足上述条件的直线l的条数为()A.1B.2C.3D.4解析:由图数形结合,可得与渐近线平行的直线l有2条,与双曲线相切的直线l有2条,所以满足条件的直线l共有4条.答案:D6.(2016安徽蚌埠高二月考)若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)截直线x=-1所得线段的长度为b,则a等于.解析:将直线x=-1代入双曲线x2a2−y2b2=1可得y=±b√1a2-1,由题意可得,b=2b√1a2-1,解得a=2√55.答案:2√557.直线y=x+1与双曲线x22−y23=1相交于A,B两点,则|AB|=.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得{y=x+1,x22-y23=1,得x2-4x-8=0,有x1+x2=4,x1·x2=-8,所以|AB|=√(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=4√6.答案:4√68.(2016四川绵阳高二月考)若点P在双曲线x2-y29=1上,则点P到双曲线的渐近线的距离的取值范围是.解析:双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0,由渐近线的性质,知当点P是双曲线的一个顶点时,点P到渐近线的距离最大,双曲线的顶点坐标是(±1,0),所以P到渐近线的最大距离为|±3-0|√10=3√1010.又双曲线与渐近线没有交点,所以点P到双曲线的渐近线的距离的取值范围是(0,3√1010].答案:(0,3√1010]9.已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.2解:设动圆M的半径为r,则由已知|MC1|=r+√2,|MC2|=r-√2(如图所示).所以|MC1|-|MC2|=2√2.又C1(-4,0),C2(4,0),所以|C1C2|=8.由于2√2<|C1C2|,根据双曲线的定义知,点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支.因为a=√2,c=4,所以b2=c2-a2=14.故点M的轨迹方程为x22−y214=1(x≥√2).10.(2016高新一中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,实轴长为2√2,且离心率e=√2.(1)求双曲线C的标准方程;(2)若点P在双曲线C上,且|PF1|=2|PF2|,求△F1PF2的面积.解:(1)因为实轴长为2√2,所以2a=2√2,即a=√2.又e=ca=√2,所以c=2.从而b2=c2-a2=4-2=2.故双曲线C的标准方程为x22−y22=1.(2)因为|PF1|=2|PF2|,所以点P在双曲线的右支上.则有|PF1|-|PF2|=2a=2√2,所以|PF2|=2√2,|PF1|=4√2.又|F1F2|=4,由余弦定理,得cos∠F1PF2=(2√2)2+(4√2)2-422×2√2×4√2=34,所以sin∠F1PF2=√74.故△F1PF2的面积为S△F1PF2=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2=12×4√2×2√2×√74=2√7.二、B组1.已知双曲线x2m−y27=1,直线l过其左焦点F1,交双曲线左支于A,B两点,且|AB|=4,F2为双曲线的右焦点,△ABF2的周长为20,则m的值为()A.8B.9C.16D.20解析:由已知,|AB|+|AF2|+|BF2|=20.又|AB|=4,则|AF2|+|BF2|=16.根据双曲线的定义,2a=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1|,所以4a=|AF2|+|BF2|-(...
