高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程高效测评 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程高效测评新人教A版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在x轴上的双曲线解析：原方程化为：－＝1∵k>1，∴k2－1>0,1＋k>0，∴方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线．故选B.答案：B2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A．x2－＝1B.－y2＝1C．y2－＝1D.－＝1解析：由双曲线定义知，2a＝－＝5－3＝2，∴a＝1，又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1，故选A.答案：A3．椭圆＋＝1(m>n>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1和F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为()A.(m－a)B．m－a2C．m2－a2D.－解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2，由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝2a，所以|PF1|·|PF2|＝m－a2.答案：B4．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为()A．6B．12C．12D．24解析：由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝2.由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝0.∴三角形F1PF2为直角三角形．∴S△PF1F2＝×6×4＝12.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．对于曲线C：＋＝1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②当14；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则14，此时方程表示双曲线，故③正确．所以应填③④.答案：③④6．设m为常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.解析：由题意得c2＝a2＋b2，即25＝m＋9，∴m＝16.答案：16三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)求焦点在y轴上，且过点P1(3，－4)，P2的双曲线的标准方程；(2)已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点，求该双曲线的标准方程．解析：(1)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为P1，P2在双曲线上，所以P1，P2的坐标适合方程，所以有，令m＝，n＝.则方程组可化为，解得，即.∴所求方程为－＝1.(2)已知双曲线－＝1.据c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，∴c＝5.设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，故双曲线方程可写为－＝1，点P在双曲线上，∴－＝1.化简得，4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或a2＝.又当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－<0，不合题意．∴所求双曲线标准方程是：x2－＝1.8．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，求C的圆心轨迹L的方程．解析：依题意得两圆的圆心分别为F1(－，0)，F2(，0)，从而可得|CF1|＋2＝|CF2|－2或|CF2|＋2＝|CF1|－2，所以||CF2|－|CF1||＝4<|F1F2|＝2.所以圆心C的轨迹是双曲线，其中2a＝4,2c＝|F1F2|＝2，即a＝2，c＝，所以b2＝c2－a2＝1，故L的方程为－y2＝1.9．(10分)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点坐标分别为(－2，0)和(2，0)，且该双曲线经过点P(3,1)．(1)求双曲线的方程；(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且MQ＋2QF＝0，求直线l的斜率．2解析：(1)依题意，得，解得.于是，所求双曲线的方程为－＝1.(2)∵点F的坐标为(2，0)，∴可设直线l的方程为y＝k(x－2)，令x＝0，得y＝－2k，即M(0，－2k)．设Q(x0，y0)，由MQ＋2QF＝0，得(x0，y0＋2k)＋2(2－x0，－y0)＝(0,0)，即(4－x0,2k－y0)＝(0,0)，故.又Q是双曲线上的一点，∴－＝1，即－＝1，解得k2＝，∴k＝±.故直线l的斜率为±.3