圆锥曲线与平面向量的综合【例4】(2004年·辽宁卷.19)设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求：（Ⅰ）动点P的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值与最大值.解：（Ⅰ）解法一：直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组的解.将①代入②并化简得，，所以于是设点P的坐标为则消去参数k得③当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为解法二：设点P的坐标为，因、在椭圆上，所以④⑤④—⑤得，所以当时，有⑥并且⑦将⑦代入⑥并整理得⑧①②当时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为（Ⅱ）由点P的轨迹方程知所以故当，取得最小值，最小值为时，取得最大值，最大值为【例5】(2004年·天津卷.理22)椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P，Q两点.（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）若，求直线PQ的方程；（Ⅲ）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.解：（Ⅰ）由题意，可设椭圆的方程为.由已知得解得所以椭圆的方程为，离心率.（Ⅱ）由（1）可得A（3，0）.设直线PQ的方程为.由方程组得依题意，得.设，则，①.②由直线PQ的方程得.于是.③∵，∴.④由①②③④得，从而.所以直线PQ的方程为或（Ⅲ）证明：.由已知得方程组注意，解得因，故.而，所以.【例6】已知是椭圆上的两点，为坐标原点，直线的方向向量依次为和,且是一个与无关的定值.（Ⅰ）求的值;（Ⅱ）若双曲线的焦点在轴上,渐近线方程为,椭圆与双曲线的离心率依次为和,求的取值范围.解：（Ⅰ）由题设,直线的方程为,直线的方程为.由方程组解得.,同理可得,.因为与无关,则有.解得.（Ⅱ）双曲线的渐近线方程是.双曲线的方程为所以,,.令,由可知,.设,则由于在内是增函数,所以.于是,的取值范围是.【例7】已知向量，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足，其中O是坐标原点，k是参数，（Ⅰ）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足≤e≤，求k的取值范围.解：(Ⅰ)令M(x,y)，则∴代入条件这就是动点M的轨迹方程当k=1时，表示直线y=0；当k=0时，表示圆；当k>1时，表示双曲线；当00时的斜率为k=∴的方程为整理得（Ⅱ）是.设c=,由椭圆的第二定义得∴|PF1|=a+=-∴结论成立
