习题课——抛物线的综合问题课后训练案巩固提升一、A组1.以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径|MF|为直径的圆与y轴的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定解析:由抛物线定义知|MF|=xM+p2,所以半径r=|MF|2=xM2+p4,而圆心为MF的中点(xM+p22,yM2),圆心到y轴的距离为xM+p22=r,故该圆与y轴相切.答案:B2.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则它被抛物线截得的弦长为()A.8B.16C.32D.61解析:由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长为x1+x2+p=12+4=16.答案:B3.(2016福建厦门高二月考)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2x1x2的值为()A.4B.-4C.p2D.-p2解析:法一(特例法):当直线AB垂直于x轴时,有A(p2,p),B(p2,-p),则y1y2x1x2=-p2p24=-4.法二:由焦点弦AB所在直线方程与抛物线方程联立,得y1y2=-p2,则y1y2x1x2=y1·y2y122p·y222p=4p2y1y2=4p2-p2=-4.答案:B4.定点M(3,103)与抛物线y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P坐标为()A.(0,0)B.(1,√2)C.(2,2)D.(18,-12)解析:如图,连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|≥|MF|,知d1+d2最小值是|MF|,当且仅当点P在线段MF上时,等号成立,而直线MF的方程为y=43(x-12),与y2=2x联立,求得x=2,y=2或x=18,y=-12(舍去),所以点P坐标为(2,2).答案:C5.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是()1A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)解析:圆心到抛物线准线的距离为p,即4,根据已知只要|FM|>4即可.根据抛物线定义,|FM|=y0+2,由y0+2>4,解得y0>2,故y0的取值范围是(2,+∞).答案:C6.焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上一点M在准线上的射影为N,若|MN|=p,则|FN|=.解析:由条件知|MF|=|MN|=p,MF⊥MN,在△MNF中,∠FMN=90°,得|FN|=√2p.答案:√2p7.(2016四川绵阳高二月考)若P为抛物线y2=4x上一动点,则点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和的最小值等于.解析:易知点A在抛物线外. 点P到x=-1的距离等于点P到焦点F(1,0)的距离,∴点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和为点P到焦点F(1,0)的距离和到点A(2,3)的距离之和减1.当且仅当A,P,F三点共线(点P在线段AF上)时,点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和最小,∴点P到y轴的距离和到点A(2,3)的距离之和的最小值为|AF|-1=√10-1.答案:√10-18.设A,B是抛物线x2=4y上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为16,则∠AOB等于.解析:由|OA|=|OB|,知抛物线上点A,B关于y轴对称.设A(-a,a24),B(a,a24),a>0,则S△AOB=12×2a×a24=16,解得a=4.所以△AOB为等腰直角三角形,∠AOB=90°.答案:90°9.设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点.(1)设l的斜率为2,求|AB|的大小;(2)求证:⃗OA·⃗OB是一个定值.(1)解:依题意得F(1,0),所以直线l的方程为y=2(x-1).设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),由{y=2(x-1),y2=4x,消去y,整理得x2-3x+1=0,所以x1+x2=3,x1x2=1.所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5.(2)证明:设直线l的方程为x=ky+1,直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),由{x=ky+1,y2=4x,消去x,整理得y2-4ky-4=0,所以y1+y2=4k,y1y2=-4.因为⃗OA·⃗OB=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3,所以⃗OA·⃗OB是一个定值.10.导学号59254033动圆P与直线x=-1相切,点F(1,0)在动圆上.(1)求圆心P的轨迹Q的方程;(2)过点F作曲线Q的两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M,N,求证:直线MN必过定点.(1)解:设P(x,y),根据题意,有√(x-1)2+y2=x+1,化简,得y2=4x,即圆心P的轨迹Q的方程为y2=4x.(2)证明:由题意,知直线AB的斜率存在且不为0.设直线lAB:y=k(x-1),A(xA,yA),B(xB,yB),代入y2=4x,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,2所以xA+xB=2(k2+2)k2.因为M是线段AB的中点,所以M(k2+2k2,2k).因为AB⊥CD,所以将点M坐标中的k换成-1k,即得N(2k2+1,-2k).当k2+2k2=2k2+1,即k=±1时,直线lMN:x=3;当k≠±1时,直线lMN:y+2k=-2k-2k2k2+1-k2+2k2·(x-2k2-1).整理,得(1-k2)y=k(x-3),所以直线MN过定点(3,0).综上所述,不论k为...
