§1.1.2余弦定理1.在△ABC中，已知a2＋b2＝c2＋ab，则C等于A.30°B.45°C.150°D.135°解析在△ABC中，由于已知a2＋b2＝c2＋ab，则由余弦定理可得cosC＝＝＝，所以C＝45°，故选B.答案B2.在△ABC中，a＝4，b＝4，C＝30°，则c2等于A.32－16B.32＋16C.16D.48解析由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝42＋42－2×4×4×＝32－16.答案A3.边长为5，7，8的三角形中，最大角与最小角之和为A.90°B.120°C.135°D.150°解析设边长为5，7，8的对角分别为A，B，C，则A＜B＜C.由题意cosB＝＝.所以cos(A＋C)＝－cosB＝－，所以A＋C＝120°.答案B4．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝A．4B.C.D．2解析因为cos＝，所以cosC＝2cos2－1＝2×－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝52＋12－2×5×1×＝32，所以AB＝4.故选A.答案A5.在△ABC中，若a＝b，c＝b，则角C＝________.解析由余弦定理可知cosC＝＝＝－.又∵C∈(0，π)，∴C＝.1答案[限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则C＝A.150°B.120°C.60°D.30°解析cosC＝＝＝－，所以C＝120°.答案B2.已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大角为A.60°B.90°C.120°D.150°解析由余弦定理得cosC＝＝＝－，∵0°＜C＜180°，∴C＝150°，故三角形的最大角是150°.答案D3.若△ABC的内角A，B，C所对边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为A.B.8－4C.1D.解析由(a＋b)2－c2＝4得a2＋b2－c2＝4－2ab，而a2＋b2－c2＝2abcosC，且C＝60°，则a2＋b2－c2＝ab，所以ab＝.答案A4.若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段A.能组成直角三角形B.能组成锐角三角形C.能组成钝角三角形D.不能组成三角形解析最长线段为7，且5＋6＞7，因此能构成三角形.∵52＋62－72＝12＞0，由余弦定理，长为7的边所对的角为锐角，即最大角为锐角，则该三角形一定为锐角三角形.答案B5.在△ABC中，已知a＝2，则bcosC＋ccosB等于A.1B.C.2D.4解析bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＝a＝2.答案C26.(能力提升)在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为A.B.C.D.解析由余弦定理得cosA＝，解得AC＝3或AC＝－8(舍去).由正弦定理得＝＝.答案D二、填空题(每小题5分，共15分)7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c等于________.解析cosC＝－cos(A＋B)＝－，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝32＋22－2×3×2×＝17，所以c＝.答案8.在△ABC中，若三个内角A，B，C满足sin2A＝sin2B＋sinBsinC＋sin2C，则角A等于________.解析由条件及正弦定理得a2＝b2＋bc＋c2，即＝－，由余弦定理得cosA＝－，又∵A∈(0，π)，∴A＝.答案9.(能力提升)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.解析在△ABC中，cosA＝＝＝，由正弦定理可知＝＝＝＝1.答案1三、解答题(本大题共3小题，共35分)10.(11分)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a＋c＝2b，且2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小，并判断△ABC的形状.解析因为2cos2B－8cosB＋5＝0，所以4cos2B－8cosB＋3＝0，所以cosB＝或cosB＝(舍去).因为B∈(0°，180°)，所以B＝60°，所以由余弦定理得cosB＝＝，又因为a＋c＝2b，3所以a2＋c2－＝ac，所以4a2＋4c2－(a2＋c2＋2ac)＝4ac，所以3a2＋3c2－6ac＝0，所以(a－c)2＝0，所以a＝c，所以△ABC为等边三角形.11.(12分)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝2A.(1)求cosA的值；(2)求c的值.解析(1)由正弦定理得＝，所以＝，＝，即cosA＝.(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以32＝(2)2＋c2－2×2c×，即c2－8c＋15＝0，解得c＝5或c＝3.当c＝3时，因为a＝3，所以a＝c，即A＝C，又因为B＝2A，故A＝C＝B，又因为A＋C＋B＝π，故2B＝π，即B＝，所以b＝＝3，这与b＝2矛盾，故c＝3不合题意舍去.因此c＝5.12.(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.(1)求的值；(2)若cosB＝，△ABC的周长为5，求b的长.解析(1)由正弦定理可设＝＝＝k，则＝＝，所以＝，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C).又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA，因此＝2.(2)由＝2，得c＝2a.由余弦定理及cosB＝，得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－4a2×＝4a2，所以b＝2a.4又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.5
