【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习第7篇第7节立体几何中的向量方法课时训练理【选题明细表】知识点、方法题号利用向量证明空间线面位置关系1、3、5、7、13利用空间向量求空间角2、4、6、8利用空间向量求距离9利用空间向量解决综合性问题10、11、12、14、15基础过关一、选择题1.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,有可能使l∥α的是(D)(A)a=(1,0,0),n=(-2,0,0)(B)a=(1,3,5),n=(1,0,1)(C)a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)(D)a=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析:若l∥α,则a·n=0.而选项A中a·n=-2.选项B中a·n=1+5=6.选项C中a·n=-1,选项D中a·n=-3+3=0,故选D.2.(2014海南海口模拟)在空间中,已知=(2,4,0),=(-1,3,0),则异面直线AB与DC所成角θ的大小为(A)(A)45°(B)90°(C)120°(D)135°解析:=(2,4,0),=(-1,3,0),cos<,>===.∴<,>=45°.即AB与DC所成的角为45°.3.(2014陕西西安模拟)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,M、N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(B)(A)相交(B)平行(C)垂直(D)不能确定解析:分别以C1B1、C1D1、C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示. A1M=AN=a,∴M(a,a,),N(a,a,a),∴=(-,0,a).又C1(0,0,0),D1(0,a,0),∴=(0,a,0),∴·=0,∴⊥. 是平面BB1C1C的法向量,且MN⊄平面BB1C1C,∴MN∥平面BB1C1C.4.(2014山东潍坊模拟)正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则C1(,1,0),A(0,0,2),=(,1,-2),平面BB1C1C的一个法向量为n=(1,0,0),所以AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为==.5.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO、AM的位置关系是(C)(A)平行(B)相交(C)异面垂直(D)异面不垂直解析:建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),=(-1,0,-2),=(-2,0,1),·=0,则直线NO、AM的位置关系是异面垂直.6.(2014大连模拟)在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥平面ABCD,AB=PD=a.点E为侧棱PC的中点,又作DF⊥PB交PB于点F.则PB与平面EFD所成角为(D)(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,D为坐标原点.则P(0,0,a),B(a,a,0),=(a,a,-a),又=(0,,),·=0+-=0,所以PB⊥DE,由已知DF⊥PB,且DF∩DE=D,所以PB⊥平面EFD,所以PB与平面EFD所成角为90°.二、填空题7.(2014大庆模拟)已知平面α和平面β的法向量分别为a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α⊥β,则x=.解析:由题意得a·b=x-2+6=0,∴x=-4.答案:-48.等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角CABD的余弦值为,M、N分别是AC、BC的中点,则EM、AN所成角的余弦值等于.解析:过C点作CO⊥平面ABDE,垂足为O,取AB中点F,连接CF、OF,则∠CFO为二面角CABD的平面角,设AB=1,则CF=,OF=CF·cos∠CFO=,OC=,则O为正方形ABDE的中心,如图所示建立直角坐标系Oxyz,则E,M,A,N,=,=,cos<,>==.答案:9.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1上的点,则点E到平面ABC1D1的距离是.解析:法一以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设点E(1,a,1)(0≤a≤1),连接D1E,则=(1,a,0).连接A1D,易知A1D⊥平面ABC1D1,则=(1,0,1)为平面ABC1D1的一个法向量.∴点E到平面ABC1D1的距离是d==.法二点E到平面ABC1D1的距离,即B1到BC1的距离,易得点B1到BC1的距离为.答案:三、解答题10.(2014高考辽宁卷)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点.(1)求证:EF⊥BC;(2)求二面角EBFC的正弦值.(1)证明:法一过E作EO⊥BC,垂足为O,连OF.由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC.所以∠EOC=∠FOC=,即FO⊥BC.又EO⊥BC,因此BC⊥平面EFO,又EF⊂平面EFO,所以EF⊥BC.法二由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图2所示空间直角坐标系.易得B(0,0,0),A(0,-1,),D(,-1,0),C(0,2,0).因而E(0,,),F(,,0),所以=(,0,-),=(0,2,0),因此·=0.从而⊥,所以EF⊥BC.(2)解:法一在图1中,过O作OG⊥BF,垂足为G,连EG.由平面ABC⊥...
