第1课时合情推理基础达标(水平一)1.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出下列空间中的结论:①垂直于同一条直线的两条直线互相平行;②垂直于同一个平面的两条直线互相平行;③垂直于同一条直线的两个平面互相平行;④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.其中正确的结论是().A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】由立体几何中线面之间的位置关系知②③是正确的结论.【答案】B2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角.根据图中的数构成的规律,推出a所表示的数是().A.16B.18C.20D.22【解析】由杨辉三角可以发现,每一行除1外,每个数都是它“肩上”的两个数之和,故a=10+10=20.【答案】C3.观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为().A.3125B.5625C.0625D.8125【解析】 55=3125,56=15625,57=78125,58的末四位数字为0625,59的末四位数字为3125,510的末四位数字为5625,511的末四位数字为8125,512的末四位数字为0625,…,由上可得末四位数字周期为4,呈规律性交替出现,∴52011=54×501+7的末四位数字为8125.【答案】D4.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h,实际上它是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为().A.B.C.D.1【解析】设圆锥的底面圆的半径为r,则L=2πr,将L2h≈Sh,代入S=πr2,化简得π≈3.类比推理可知,若V≈L2h,则π≈.【答案】B5.若数列{an}中,a1=1,a2=3+5,a3=7+9+11,a4=13+15+17+19,…,则a10=.【解析】因为前9项共使用了1+2+…+9=45个奇数,前10项共使用了1+2+3+4+…+10=55个奇数,所以a10为从第46个到第55个奇数的和,即a10=(2×46-1)+(2×47-1)+…+(2×55-1)==1000.【答案】10006.若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.由类比推理可得:在等比数列{bn}中,若其前n项的积为Pn,则P2n-1=.【解析】将等差数列前n项和类比到等比数列前n项积,将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”.因为若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an,所以由类比可得:在等比数列{bn}中,若其前n项的积为Pn,则P2n-1=.【答案】7.在平面几何中,研究正三角形内任意一点与三边的关系时,有真命题:边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a.类比上述命题,请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题,并给出简要的证明.【解析】类比所得的真命题:棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.证明:设M是正四面体PABC内任意一点,点M到平面ABC,平面PAB,平面PAC,平面PBC的距离分别为d1,d2,d3,d4.由于正四面体四个面的面积相等,故有VP-ABC=VM-ABC+VM-PAB+VM-PAC+VM-PBC=·S△ABC·(d1+d2+d3+d4).而S△ABC=a2,VP-ABC=a3,故d1+d2+d3+d4=a.2拓展提升(水平二)8.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=.类比这个结论,设四面体SABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为R,四面体SABC的体积为V,则R的值为().A.B.C.D.【解析】设四面体SABC的内切球球心为点O,由V=VO-ABC+VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC,即V=S1R+S2R+S3R+S4R,可得R=.【答案】C9.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”,而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”.如图,可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和.下列等式中,符合这一规律的表达式是().①13=3+10;②25=9+16;③36=15+21;④49=18+31;⑤64=28+36.A.①④B.②⑤C.③⑤D.②③【解析】这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45,…,且“正方形数”是“三角形数”中相邻的两个数之和,可得到15+21=36,28+36=64,所以③⑤是对的.【答案】C10.我们知道,在平面中,如果一个凸多边形有内切圆,那么凸多边形的面积S、周长c与内切圆半径r之间的关系为S=cr.类比这个结论,在空间中,如果一个凸多面体有内切球,且内切球半径为R,类比推导凸多面体的...
