高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的几何性质课后导练 新人教B版选修1-1-新人教B版高二选修1-1数学试题VIP免费

2.3.2抛物线的几何性质课后导练基础达标1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p＞0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点解析： 直线y=kx-k过点（1,0），点（1，0）在抛物线y2=2px的内部，∴当k=0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点.答案：C2.抛物线x2=-4y的通径为AB，O为抛物线的顶点，则()A.通径长为8，△AOB的面积为4B.通径长为-4，△AOB的面积为2C.通径长为4，△AOB的面积为4D.通径长为4，△AOB的面积为2解析： 抛物线x2=-4y,∴2p=4,即通径长为4，△AOB的面积为21×2p×2p=21×4×1=2.答案：D3.过点(0，-2)的直线与抛物线y2=8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则｜AB｜等于()A.217B.17C.215D.15解析：设直线方程为y=kx-2,A(x1,y1)、B(x2,y2).由,8,22xykxy得k2x2-4(k+2)x+4=0. 直线与抛物线交于A、B两点，∴Δ=16(k+2)2-16k2>0,即k>-1.又,2)2(22221kkxx∴k=2或k=-1(舍).∴｜AB｜=21k｜x1-x2｜.152)44(54)(·212212212xxxx答案：C4.等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p＞0),O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是()A.8p2B.4p2C.2p2D.p21解析： 抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，∴由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组.2,20,0,2,2pypxyxpxyxy或得∴A、B两点的坐标分别为（2p,2p）和(2p,-2p).∴｜AB｜=4p.∴S△AOB=21×4p×2p=4p2.答案：B5.过抛物线y2=8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为()A.8B.16C.32D.61解析：由抛物线y2=8x的焦点为（2，0），得直线的方程为y=x-2.代入y2=8x,得（x-2）2=8x,即x2-12x+4=0.∴x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.答案：B6.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.解析：由题可知抛物线y2=8x的准线过（-2，0）,故过此点的直线l:y=k(x+2).将直线方程代入抛物线方程可得k2(x+2)2=8x,化简得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0有公共点，即上述方程有解且解都大于或等于0.当k=0时，x=0成立；当k≠0时，.04,084,0212221xxkkxx解得-1≤k≤1且k≠0.综上所述，故-1≤k≤1.答案：-1≤k≤17.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上，则z=x2+21y2+3的最小值是________.解析： 点（x,y）在抛物线y2=4x上，∴x≥0. z=x2+21y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,∴当x=0时，z最小，其值为3.答案：38.抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若｜AB｜=43，则焦点到AB的距离为.解析：不妨设A（x,23），则（23）2=4x.∴x=3.∴AB的方程为x=3,抛物线的焦点为（1，0）.2∴焦点到准线的距离为2.答案：29.已知抛物线y2=6x,过点P(4，1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程.解法一：设直线上任意一点坐标为（x,y），弦的两个端点为P1（x1,y1）、P2(x2,y2). P1、P2在抛物线上，∴y21=6x1,y22=6x2.两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2).① y1+y2=2,代入①得k=.31212xxyy∴直线的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.解法二：设所求方程为y-1=k(x-4).由方程组14,62kkxyxy得ky2-6y-24k+6=0.设弦的两端点P1、P2的坐标分别是（x1,y1）(x2,y2)，则y1+y2=k6. P1P2的中点为（4，1），∴k6=2.∴k=3.∴所求直线方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.10.设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.证明： 抛物线的焦点为F（2p,0）,∴经过点F的直线AB的方程可设为x=my+2p,代入抛物线方程，得y2-2pmy-p2=0.设A（x1,y1）,B(x2,y2)，则y1、y2是该方程的两根，∴y1y2=-p2. BC∥x轴，且点C在准线x=-2p上，∴点C的坐标为（-2p,y2）.∴直线OC的斜率为k=,221112xyyppy即k也是直线OA的斜率.∴直线AC经过原点O.综合运用11.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，C是AB的中点，若｜AB｜=22，OC的3斜率为22，求随圆的方程.解法一：设A（x...