2.1向量的概念及表示A级基础巩固1．在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①③⑤解析：由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确．答案：D2．数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量AB的长度是()A．－1B．2C．1D．3解析：易知|AB|＝2－(－1)＝3.答案：D3．下列命题中，正确的是()A．|a|＝1⇒a＝±1B．|a|＝|b|且a∥b⇒a＝bC．a＝b⇒a∥bD．a∥0⇒|a|＝0解析：两共线向量的模相等，但两向量不一定相等，0与任一向量平行．两向量相等，则一定共线(平行)．答案：C4.如图所示，在⊙O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：O为⊙O的圆心，OA，OB，OC都为⊙O的半径，则OB，OC，AO的模相等，故C正确．答案：C5．若|AB|＝|AD|且BA＝CD，则四边形ABCD的形状为()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形解析：由BA＝CD知四边形为平行四边形；由|AB|＝|AD|知四边形ABCD为菱形．答案：C6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，则m＝1________．解析：因为A，B，C三点不共线，所以AB与BC不共线，又因为m∥AB且m∥BC，所以m＝0.答案：07．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为始点和终点的向量中，与AF相等的向量有__________．解析：因为各方格均为正方形，则有BE＝CD＝AF.答案：BE，CD8．下列说法中，正确的序号是________．①若AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上；②任一向量与它的平行向量不相等；③若四边形ABCD是平行四边形，则AB＝DC；④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．解析：因为向量AB与CD是共线向量，它们的基线不一定是同一个，所以A，B，C，D也不一定在一条直线上，所以①错误；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，即②错误；画出图形，可得AB＝DC，所以③正确；由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以④不正确．答案：③9．已知点O固定，且|OA|＝2，则A点构成的图形是()A．一个点B．一条直线C．一个圆D．不能确定解析：因为|OA|＝2，所以终点A到起点O的距离为2.又因为点O固定，所以点A的轨迹是以O为圆心、2为半径的圆．答案：CB级能力提升10．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________．解析：因为a与b为相等向量，所以a∥b，即①能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是①③④.答案：①③④11．河中水流自西向东流速为10km/h，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实际速度达到每小时10km，该小船行驶的方向为________，小船在静水中的速度为________．解析：如下图所示：2设小船的静水速度为v，则|v|＝＝20(km/h)．sinα＝＝，α＝30°，即小船行驶的速度大小为20km/h，行驶的方向为北偏西30°.答案：北偏西30°20km/h12.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中．(1)写出与DA平行的向量；(2)写出与DA的模相等的向量．解：(1)与DA平行的向量有：AD，BC，CB；(2)与DA的模相等的向量有：AD，BC，CB，AB，BA，DC，CD，BD，DB.13．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且|AC|＝.(1)画出所有的向量AC；(2)求|BC|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC，共有AC1，AC2，AC3，AC4，AC5，AC6，AC7，AC88个可能，如图所示．(2)由(1)所画的图知：①当点C在点C1或C2时，|BC|取得最小值＝；②当点C在点C5或C6时，|BC|取得最大值＝.所以|BC|的最大值为，最小值为.34
