课时作业25平面向量的概念及其线性运算1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(B)A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－λa|≥|λ|·a解析：对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．2．(2019·合肥质检)已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2AC＋CB＝0，则向量OC等于(C)A.OA－OBB．－OA＋OBC．2OA－OBD．－OA＋2OB解析：因为AC＝OC－OA，CB＝OB－OC，所以2AC＋CB＝2(OC－OA)＋(OB－OC)＝OC－2OA＋OB＝0，所以OC＝2OA－OB.3．(2019·济宁模拟)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为(B)A．1B．2C．3D．4解析： O为BC的中点，∴AO＝(AB＋AC)＝(mAM＋nAN)＝AM＋AN， M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.4．(2019·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，BC＝3EC，F为AE的中点，则BF＝(C)A.AB－ADB.AB－ADC．－AB＋ADD．－AB＋AD解析：BF＝BA＋AF＝BA＋AE＝－AB＋＝－AB＋＝－AB＋AD＋AB＋(CD＋DA＋AB)＝－AB＋AD.5．(2019·长春模拟)在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且AD＝AB＋AC，则＝(B)A.B.C.D.解析：由AD＝AB＋AC得点D在平行于AB的中位线上，从而有S△ABD＝S△ABC，又S△ACD＝S△ABC，所以S△BCD＝S△ABC＝S△ABC，所以＝.故选B.6．(2019·太原模拟)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，点P是△ABC内一点(含边界)，若AP＝AB＋λ·AC，则|AP|的取值范围为(D)A.B.C.D.解析：在AB上取一点D，使得AD＝AB，过D作DH∥AC，交BC于H. AP＝AB＋λAC，且点P是△ABC内一点(含边界)，∴点P在线段DH上．当P在D点时，|AP|取得最小值2；当P在H点时，|AP|取得最大值，此时B，P，C三点共线， AP＝AB＋λAC，∴λ＝，∴AP＝AC＋AB，∴AP2＝AC2＋AB2＋AB·AC＝，∴|AP|＝.故|AP|的取值范围为.故选D.7．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝3.解析：由已知条件得MB＋MC＝－MA，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点．延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E，F分别为AC，AB的中点，即M为△ABC的重心，∴AM＝AD＝(AB＋AC)，即AB＋AC＝3AM，则m＝3.8．(2019·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋e2，CD＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为－.解析：由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB＝λBD.又AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋e2，CD＝3e1－2ke2，所以BD＝CD－CB＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，又e1与e2不共线，所以解得k＝－.9．在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是.解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，∴AB＝2DC， 点E在线段CD上，∴DE＝λDC(0≤λ≤1)． AE＝AD＋DE，又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋DE，∴＝1，即μ＝， 0≤λ≤1，∴0≤μ≤.即μ的取值范围是.10．(2019·太原质检)设G为△ABC的重心，且sinA·GA＋sinB·GB＋sinC·GC＝0，则角B的大小为60°.解析： G是△ABC的重心，∴GA＋GB＋GC＝0，GA＝－(GB＋GC)，将其代入sinA·GA＋sinB·GB＋sinC·GC＝0，得(sinB－sinA)GB＋(sinC－sinA)GC＝0.又GB，GC不共线，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0.则sinB＝sinA＝sinC.根据正弦定理知，b＝a＝c，∴△ABC是等边三角形，则B＝60°.11．如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示向量AO.解：由D，O，C三点共线，可设DO＝k1DC＝k1(AC－AD)＝k1＝－k1a＋k1b(k1为实数)，同理，可设BO＝k2BF＝k2(AF－AB)＝k2＝－k2a＋k2b(k2为实数)，①又BO＝BD＋DO＝－a＋＝－(1＋k1)a＋k1b，②所以由①②，得－k2a＋k2b＝－(1＋k1)a＋k1b，即(1＋k1－2k2)a＋b＝0.又a，b不共线，所以解得所...
