高中数学 第三章 空间向量与立体几何检测（含解析）新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

第三章检测(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为侧面BCC1B1的中心.若⃗AE=z⃗AA1+x⃗AB+y⃗AD,则x+y+z的值为()A.1B.32C.2D.34解析: ⃗AE=⃗AB+⃗BE=⃗AB+12⃗AA1+12⃗AD,∴x=1,y=z¿12,则x+y+z=2,故选C.答案:C2.已知i,j,k为单位正交基底,a=3i+2j-k,b=i-j+2k,则5a与3b的数量积等于()A.-15B.-5C.-3D.-1解析:a=(3,2,-1),b=(1,-1,2),故5a=(15,10,-5),3b=(3,-3,6),∴5a·3b=45-30-30=-15.答案:A3.已知向量a¿(8,x2,x),b=(x,1,2),其中x>0,若a∥b,则x的值为()A.8B.4C.2D.1解析:a∥b⇔存在λ∈R使a=λb⇔(8,x2,x)=(λx,λ,2λ)⇔{λx=8,x2=λ,x>0,x=2λ⇔{λ=2,x=4.答案:B4.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是()A.⃗OM=⃗OA+⃗OB+⃗OCB.⃗OM=2⃗OA−⃗OB−⃗OCC.⃗OM=⃗OA+12⃗OB+13⃗OCD.⃗OM=13⃗OA+13⃗OB+13⃗OC解析:选项D中的三个系数和:13+13+13=1,故M与点A,B,C一定共面.1答案:D5.若a,b,c是空间的非零向量,则下列命题中的真命题是()A.(a·b)c=(b·c)aB.若a·b=-|a|·|b|,则a∥bC.若a·c=b·c,则a∥bD.若a·a=b·b,则a=b解析:(a·b)c是与c共线的向量,(b·c)a是与a共线的向量,a与c不一定共线,故A项为假命题;若a·b=-|a|·|b|,则a与b方向相反,所以a∥b,故B项为真命题;若a·c=b·c,则(a-b)·c=0,即(a-b)⊥c,不能得出a∥b,故C项为假命题;若a·a=b·b,则|a|=|b|,a与b方向未必相同,故不能得出a=b,所以D项为假命题.答案:B6.若向量a=(1,x,2),b=(2,-1,2),且a,b夹角的余弦值为89,则x等于()A.2B.-2C.-2或255D.2或−255解析:cos¿a·b|a||b|=6-x3√5+x2=89,解得x=-2或x¿255.答案:C7.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,⃗AB=(2,−1,−4),⃗AD=(4,2,0),⃗AP=(−1,2,−1),则PA与底面ABCD的关系是()A.相交B.垂直C.不垂直D.成60°角解析: ⃗AP·⃗AB=0,⃗AP·⃗AD=0,∴AP⊥平面ABCD.答案:B8.下面命题中,正确的命题有()①若n1,n2分别是不同平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2=0;③若n是平面α的法向量,b,c是α内两个不共线的向量,a=λb+μc(λ,μ∈R),则n·a=0;④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.A.1个B.2个C.3个D.4个答案:D9.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()2A.15B.25C.35D.45解析:用坐标法求向量的夹角.答案:D10.已知向量n=(1,0,-1)与平面α垂直,且α经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到α的距离为()A.32B.√22C.√2D.3√22解析:⃗PA=(−2,0,−1),又n与α垂直,所以P到α的距离为|(-2,0,-1)·(1,0,-1)|√12+(-1)2=1√2=√22,故选B.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.解析:如图,以点D为原点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则⃗MA1=(2,−1,2),⃗DN=(0,2,1),所以⃗MA1·⃗DN=0,故异面直线A1M与DN所成的角的大小为90°.3答案:90°12.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),若直线OA上的一点H(x,y,z),满足BH⊥OA,则x=,y=,z=.解析:⃗BH=(x,y−1,z−1),⃗OA=(−1,1,0),⃗OH=(x,y,z), BH⊥OA,∴(x,y-1,z-1)·(-1,1,0)=0.又OH∥OA,∴(x,y,z)=k(-1,1,0),联立解得x=−12,y=12,z=0.答案:−1212013.已知|a|=|b|=|c|=1,a+b+c=0,则a·c+b·c+a·b=.解析:设a·c+b·c+a·b=x,则2x=(a+b)·c+(b+c)·a+(c+a)·b=-|c|2-|a|2-|b|2=-3,解得x=−32.答案:−3214.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为.解析:因为|a|=|b|,所以平行四边形为菱形.又a+b=(4,1,3),a-b=(0,-3,1),|a+b|¿√26,|a-b|¿√10,所以S¿12∨a+b∨¿a−b∨¿12×√26×√10=√65.答案:√6515.给出命题:①在▱ABCD中,⃗AB+⃗AD=⃗AC;②在△ABC中,若⃗AB·⃗AC>0,则△ABC是锐角三角形;③在梯形ABCD中,E,F分别是两腰BC,DA的中点,则⃗FE=12(⃗AB+⃗DC).以上...