高中数学 1.7 定积分的简单应用课时作业 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP免费

课时作业(十三)定积分的简单应用A组基础巩固1．在下面所给图形的面积S及相应的表达式中，正确的有()A．①③B．②③C．①④D．③④解析：①应是S＝[f(x)－g(x)]dx，②应是S＝2dx－(2x－8)dx，③和④正确．故选D.答案：D2.dx等于()A.B.C．πD．2π解析：令y＝，则(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，因而dx表示圆(x－1)2＋y2＝1在x轴上方x∈[0,1]的面积，即圆面积的，即dx＝.答案：A3．曲线y＝x2＋2x与直线x＝－1，x＝1及x轴所围图形的面积为()A．2B.C.D.解析：S＝－－1(x2＋2x)dx＋(x2＋2x)dx＝－＋＝＋＝2.答案：A4．以初速40m/s竖直向上抛一物体，ts时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()A.mB.mC.mD.m解析：由v＝40－10t2＝0⇒t2＝4，t＝2.∴h＝(40－10t2)dt＝＝80－＝(m)．故选A.答案：A5．如图，阴影部分的面积是()1A．2B．2－C.D.解析：阴影部分的面积S＝(3－x2－2x)dx＝＝.答案：C6．由抛物线y＝x2－x，直线x＝－1，x＝1及x轴围成的图形面积为()A.B．1C.D.解析：S＝(x2－x)dx＋＝1.答案：B7．抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．解析：由y′＝－2x＋4得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两直线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6，由得两直线交点坐标为C(2,2)，∴S＝S△ABC－(－x2＋4x－3)dx＝×2×2－＝2－＝.答案：8．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)成立，则a的值为__________．解析：f(x)dx＝(3x2＋2x＋1)dx，取F(x)＝x3＋x2＋x，则F′(x)＝3x2＋2x＋1，原式＝F(1)－F(－1)＝4，所以2(3a2＋2a＋1)＝4，即3a2＋2a－1＝0，解得a＝－1或a＝.答案：－1或9．汽车以每小时32km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－1.8m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为__________．解析：当t＝0时，v0＝32km/h＝m/s＝m/s.刹车后减速行驶，v(t)＝v0＋at＝－1.8t.停止时，v(t)＝0，则－1.8t＝0，得t＝s，所以汽车所走的距离s＝v(t)dt＝≈21.95(m)．答案：21.95m10．求由曲线xy＝1及直线x＝y，y＝3所围成平面图形的面积．解析：作出曲线xy＝1，直线x＝y，y＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．求交点坐标：由得故A；由得或(舍去)，故B(1,1)；由得故C(3,3)，B组能力提升11．椭圆＋＝1所围区域的面积为________．解析：由＋＝1，得y＝±.又由椭圆的对称性知，椭圆的面积为S＝4dx＝3dx.由y＝，得x2＋y2＝16(y≥0)．由定积分的几何意义知dx表示由直线x＝0，x＝4和曲线x2＋y2＝16(y≥0)及x轴所围成图形的面积，∴dx＝×π×16＝4π，2∴S＝3×4π＝12π.答案：12π12．由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x所围成的平面图形的面积是________．解析：由得或如图，所求面积为S＝(5x－x2－4)dx＝＝－＝.答案：13．已知抛物线y＝x2－2x及直线x＝0，x＝a，y＝0所围成的平面图形的面积为，求a的值．解得或或∴得a＝－1或a＝2，∴a的值为－1或2.14．函数f(x)＝ax3＋bx2－3x，若f(x)为实数集R上的单调函数，且a≥－1，设点P的坐标为(b，a)，试求出点P的轨迹所形成的图形的面积S.解析：当a＝0时，由f(x)在R上单调，知b＝0.当a≠0时，f(x)在R上单调⇔f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立．∵f′(x)＝3ax2＋2bx－3，∴∴a≤－b2且a≥－1.因此满足条件的点P(b，a)在直角坐标平面xOy的轨迹所围成的图形是由曲线y＝－x2与直线y＝－1所围成的封闭图形．联立解得或如图，其面积S＝dx＝＝(3－1)－(－3＋1)＝4.15．一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：(1)在t＝4s时的位置；(2)在t＝4s时运动的路程．解析：(1)在时刻t＝4s时该点的位置为(t2－4t＋3)dt＝＝(m)，即在t＝4s时该点距出发点m.(2)因为v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上，υ(t)≥0，在区间[1,3]上，v(t)≤0，所以在t＝4s时的路程为s＝(t2－4t＋3)dt＋＋(t2－4t＋3)dt＝(t2－4t＋3)dt－(t2－4t＋3)dt＋(t2－4t＋3)dt＝4(m)，即在t＝4s时运动的路程为4m.3