2.2.2椭圆的简单几何性质A级：基础巩固练一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为()A.B.C.D.答案C解析根据题意，可知c＝2，因为b2＝4，所以a2＝b2＋c2＝8，即a＝2，所以椭圆C的离心率为e＝＝.故选C.2．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的线段的中点坐标为()A.B.C.D.答案C解析由消去y，得3x2＋4x－2＝0.设直线与椭圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，∴y1＋y2＝x1＋x2＋2＝.∴AB中点的坐标为.3．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是()A．－
或k<－D．k<且k≠－答案C解析由可得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝(24k)2－4×(4k2＋1)×20＝16(16k2－5)>0，即k>或k<－时，直线与椭圆有两个公共点．4．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|为()A.B.C.D．4答案C解析 |PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|＝＝，∴|PF2|＝4－＝.5．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0,1)B.C.D.答案C解析由MF1·MF2＝0知MF1⊥MF2，∴以F1F2为直径的圆包含在椭圆内部，∴椭圆上的点均满足∠F1MF2<90°，∴只需F1，F2与短轴端点形成的角为锐角，所以cb>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2＋y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为________．答案解析连接OQ，F1P，则由切线的性质，则OQ⊥PF2，又由点Q为线段PF2的中点，O为F1F2的中点，∴OQ∥F1P，∴PF2⊥PF1，故|PF2|＝2a－2b，且|PF1|＝2b，|F1F2|＝2c，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，得4c2＝4b2＋4(a2－2ab＋b2)，解得b＝a，则c＝a，故椭圆的离心率为.三、解答题10．(2018·广东江门普通高中调研)已知F为椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点，过原点的直线l与椭圆交于M，N两点，且MF·NF＝0，△MNF的面积为ab.(1)求椭圆的离心率；(2)若F(，0)，过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．解(1)设椭圆的焦半距为c，左焦点为F1.因为MF·NF＝0，所以MF⊥NF，由椭圆的对称性可知四边形F1MFN为矩形，|MF1|＝|NF|，所以得4a2＝4c2＋2ab，由a2＝b2＋c2消去上式的b得a2＝c2，即＝，椭圆C的离心率e＝.(2)因为F的坐标为(，0)，由(1)中e＝，所以c＝，a＝2，b2＝a2－c2＝4－3＝1，故椭圆的方程为＋y2＝1.设直线AB的斜率为k，直线AB不与坐标轴垂直．故k≠0，直线AB的方程为y＝k(x－)，将AB方程与椭圆方程联立得消去y得(1＋4k2)x2－8k2x＋12k2－4＝0，2由韦达定理得，x1＋x2＝，设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝k＝.则AB垂直平分线的方程为y－y0＝－(x－x0)．令y＝0，G点横坐标为xG＝x0＋ky0＝－＝＝－，因为k≠0，所以1＋4k2>1.故点G横坐标的取值范围为.B级：能力提升练1．(2018·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|＝.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：y＝kx(k<0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限，若△BPM的面积是△BPQ的面积的2倍，求k的值．解(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.又|AB|＝＝，从而a＝3，b＝2.所...
