第四章数列4.2等差数列4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时等差数列前n项和的性质及应用课后篇巩固提升基础达标练1.在等差数列{an}中,Sn是其前n项和,a1=-11,S1010−S88=2,则S11=()A.-11B.11C.10D.-10解析 {an}为等差数列,∴{Snn}为等差数列,首项S11=a1=-11,设{Snn}的公差为d,则S1010−S88=2d=2,∴d=1,∴S1111=-11+10d=-1,∴S11=-11.答案A2.某等差数列共有13项,其中偶数项之和为30,则奇数项之和为()A.34B.35C.36D.不能确定解析由题意可得,偶数项的S偶=a2+a4+…+a12=30,由等差数列的性质可知,6a7=30,即a7=5,因为共有13项,∴S奇=S偶+a7=35.答案B3.若Sn表示等差数列{an}的前n项和,S5S10=13,则S10S20=()A.19B.18C.310D.13解析由题意,得S5,S10-S5,S15-S10,S20-S15成等差数列. S5S10=13,∴S10=3S5,∴S15=6S5,S20=10S5,∴S10S20=310.答案C4.(多选)(2019山东莱州一中高三月考)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,前n项和为Sn,满足a1+5a3=S8,下列选项正确的有()A.a10=0B.S7=S12C.S10最小D.S20=0解析因为{an}是等差数列,设公差为d,由a1+5a3=S8,可得a1+9d=0,即a10=0,即选项A正确,又S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即选项B正确,当d>0时,则S9或S10最小,当d<0时,则S9或S10最大,即选项C错误,又S19=19a10=0,a20≠0,所以S20≠0,即选项D错误,故选AB.答案AB5.等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若SnTn+2=2n+73n+6,则a2+a11+a20b5+b19=()A.161150B.79C.4946D.76解析 SnTn+2=2n+73n+6,则根据等差数列的性质可知a2+a11+a20b5+b19=3a112b12=3×2a114b12=3×a1+a212×212×b1+b232×23×2321=32×21×2+721×3+6×2321=76.答案D6.已知等差数列{an},Sn为其前n项和,S3=9,a4+a5+a6=7,则S9-S6=.解析 S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,而S3=9,S6-S3=a4+a5+a6=7,∴S9-S6=5.答案57.已知等差数列{an},|a5|=|a9|,公差d>0,则使得其前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是.解析由|a5|=|a9|,且d>0,得a5<0,a9>0,且a5+a9=0,即2a1+12d=0,即a1+6d=0,即a7=0,故S6=S7,且为最小值.答案6或78.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0,n∈N*,若S12>0,S13<0,则数列{|an|}的最小项是.解析设等差数列{an}的公差为d. a1>0,n∈N*,S12>0,S13<0,∴6(a6+a7)>0,13a7<0.∴a6>0,a7<0,且a6>-a7>0.而-a7<-a8<…,则数列{|an|}的最小项是a7.答案a79.已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为-4.(1)求数列{an}的前n项和Sn;(2)求数列{Snn}的前n项和Tn.解(1)设{an}的公差为d,由题意,得{3a1+3×22d=6,8a1+8×72d=-4,即{3a1+3d=6,8a1+28d=-4,解得{a1=3,d=-1.所以Sn=3n+n(n-1)2×(-1)=-12n2+72n.(2)由(1),得Snn=-12n+72,所以Sn+1n+1−Snn=-12(n+1)+72−(-12n+72)=-12,即数列{Snn}是首项为S11=3,公差为-12的等差数列,故Tn=3n+n(n-1)2×(-12)=-14n2+134n.10.在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和.解等差数列{an}的公差d=a17-a117-1=-12-(-60)16=3,故an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.由an<0,得3n-63<0,即n<21.故数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负数.设Sn,S'n分别表示数列{an},{|an|}的前n项和,当n≤20时,S'n=-Sn=-[-60n+n(n-1)2×3]=-32n2+1232n;当n≥21时,S'n=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20=-60n+n(n-1)2×3-2×(-60×20+20×192×3)=32n2-1232n+1260.故数列{|an|}的前n项和为S'n={-32n2+1232n,n≤20,32n2-1232n+1260,n≥21.能力提升练1.在数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则这个数列前30项的绝对值之和为()A.495B.765C.46D.76解析由已知可以判断数列{an}是以-60为首项,3为公差的等差数列,因此an=3n-63. a1<0,d>0,a21=0,a22>0,∴数列前30项的绝对值之和为S30-2S21=30×(-60)+30×292×3-2×[21×(-60)+21×202×3]=765.答案B2.(多选)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且AnBn=7n+45n+3,则使得anbn为整数的正整数n可以是()A.1B.2C.3D.6解析anbn=2an2bn=a1+a2n-1b1+b2n-1=2n-12(a1+a2n-1)2n-12(b1+b2n-1)=A2n-1B2n-1=7(2n-1)+45(2n-1)+3=7n+19n+1=7+12n+1.当n=1,2,3,5,11时,12n+1为整数,即当n=1,2,3,5,11时,anbn为整数.故选ABC.答案ABC3.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,nSn+1>(n+1)Sn(n∈N*),且a8a7<-1,则在Sn中()A.最小...
