《因式分解待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳知识体系梳理添项拆项法有的多项式由于“缺项”或“并项”因此不能直接分解。通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。待定系数法有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。换元法所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫。换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。（）、使用换元法时，一定要有意识，即把某些相同或相似的部分看成一个。（）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。（）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”★★典型例题、方法导航方法一：添项拆项法【例】分解因式：分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。可考虑添项拆项法分解。从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即，再看常数项可分解成土、土，因此我们可猜想分解的结果可能是或或但的中间项是因此是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。下面请看：解：其结果是我们猜想中的第一种。此题还有其他分解方法吗？在注意到分解结果中有和的因式，因此还有其他更多的分解方法。方法二：方法三：方法四：方法五：方法六：（余下过程同学自己完成）方法点金：拆项、添项法分解因式的关键是通过拆项、添项达到分组或运用公式的目的，一般可考虑添多项式中所缺的项，或考虑常数项可分解的因数有关的因式。◎变式议练一：分解下列各式的因式（）（）（）方法二：待定系数法【例】分解因式：解：设：展开后左右两边比较系数求出、即可。分解结果：【例】已知多项式能被整除，请分解前者的因式。分析：设，利用多项式的恒等求出、即可。◎变式议练二：、已知是的一个因式，贝■9、用待定系数法分解因式：【例】在实数范围内分解因式()()()◎变式议练三：求的算术平方根。方法三：换元法直接换元法【例】用换元法分解因式：方法点金：设，注意：换元法分解因式最后要回归。◎变式议练四、用换元法分解因式：、用换元法分解因式：方法点金：当两括号中的二次项，一次项的系数对应成比例可考虑用换元法分解因式。【例】分解因式：分析：两括号中二次项、一次项系数的比为，可以换元。组合换元法【例】分解因式：分析：观察第一、四括号内的常数项和第二、三括号内的常数的和为，因此也可用组合换元法分解因式。◎变式议练五证明四个连续正整数的积与的和是一个完全平方。能力与创新把下列各式分解因式：①、②、③、♦♦♦♦快乐体验、若多项式和多项式有公因式，则■9、若能被整除，则■9、分解因式：()()、已知多项式有一个因式是，把这个多项式分解因式。、甲、乙两同学分解多项式时，甲看错了分解结果为乙看错了分解结果为请分析一下，、的值分别为多少？并写出正确的分解过程。、已知一个三角形的三边、、满足试判断这个三角形的形状，并证明你的结论。
