3.1.4-3.1.5空间向量的坐标运算VIP免费

3.1.4—3.1.5空间向量的坐标表示oxyz从空间某一个定点０引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系０－xyz．点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、yoz平面、和Zox平面．空间直角坐标系的画法:oxyz1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350,而z轴垂直于y轴．135013502.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半．有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点Ａ怎样来表示它的坐标呢？oxyzＡabc(a,b,c)经过A点作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于三点，三点在相应的坐标轴上的坐标a,b,c组成的有序实数对（a,b,c)叫做点Ａ的坐标记为：Ａ（a,b,c)在空间直角坐标系中,x轴上的点、xoy坐标平面内的点的坐标各有什么特点？),,(zyxMxyzo)0,0,(xP)0,,0(yQ),0,0(zR)0,,(yxA),,0(zyB),,(zoxC)0,0,0(O１．x轴上的点横坐标就是与x轴交点的坐标，纵坐标和竖坐标都是０．２．xoy坐标平面内的点的竖坐标为０，横坐标与纵坐标分别是点向两轴作垂线交点的坐标．练习．如图，已知长方体ABCD-A`B`C`D`的边长为AB=12,AD=8,AA`=5.以这个长方体的顶点Ａ为坐标原点，射线AB,AD,AA`分别为x轴、y轴和z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标．xyzAOA`BB`CC`DD`单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用来表示.{,,}ijk��ik�j有序实数组(,,)xyz一一对应pxiyjzk�,,ijk��为基底空间向量p�因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底以点O为原点，分别以的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O—xyz.x轴、y轴、z轴，都叫做叫做坐标轴,点O叫做原点，向量都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.{,,}ijk��,,ijk��,,ijk��123(,,)AaaaaxyzOkij对空间任一向量,由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组,使a123(,,)aaa123.aaiajak��有序实数组123(,,)aaa就叫做a在这一空间直角坐标系下的坐标.记为123(,,)aaaa.空间直角坐标系Oxyz,,ijk��为单位正交基底以建立空间直角坐标系O—xyz(,,)xyzpxiyjzk�,,ijk��为基底p�记(,,)pxyz�ik�jxyz(,,)Pxyz(,,)(,,)OPxyzPxyz�若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)空间向量类似于平面向量可以用坐标表示,而且也类似于平面向量可以用坐标来进行各种运算及进行有关判断.123123()()aaaabbbb设，，，，，，则;ab;ab;a//;//.0ababab且各坐标值、均非00a规定：0??a思考：（0，0，0）1.中点坐标公式已知111222(,,),(,,)AxyzBxyz则线段AB的中点坐标为121212(,,)222xxyyzz2.空间向量数量积的坐标表示：设空间两个非零向量111222()()axyzbxyz，，，，，，121212abxxyyzz则3.长度的计算已知(,,)axyz,则222axyz4.空间两点间的距离公式已知、，则111(,,)Axyz222(,,)Bxyz222212121()()()�ABxxyyzz注：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。cos,1ab与abcos,1ab与abcos,0abab思考：当及时，的夹角在什么范围内？1cos,0ab,10cosab6.空间两非零向量垂直的条件12121200ababxxyyzz5.角度的计算已知空间两非零向量111222(,,),(,,)axyzbxyz则121212222222111222cos,xxyyzzabababxyzxyz练习:已知求),4,1,3(),5,3,2(babaababa...