专题八（4）关于圆的综合题VIP免费

关于圆的综合题1、（2014•泸州24题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE•CA．（1）求证：BC=CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=，求DF的长．【考点】：相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．【分析】：（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DBC得出结论．（2）连接OC，先证AD∥OC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC=，再由割线定理PC•PD=PB•PA求得半径为4，根据勾股定理求得AC=，再证明△AFD∽△ACB，得，则可设FD=x，AF=，在Rt△AFP中，求得DF=．【解答】：（1）证明： DC2=CE•CA，∴=，△CDE∽△CAD，∴∠CDB=∠DBC， 四边形ABCD内接于⊙O，∴BC=CD；（2）解：如图，连接OC， BC=CD，∴∠DAC=∠CAB，又 AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC，∴=， PB=OB，CD=，∴=∴PC=4又 PC•PD=PB•PA∴PA=4也就是半径OB=4，在RT△ACB中，AC===2， AB是直径，∴∠ADB=∠ACB=90°∴∠FDA+∠BDC=90°∠CBA+∠CAB=90° ∠BDC=∠CAB∴∠FDA=∠CBA又 ∠AFD=∠ACB=90°∴△AFD∽△ACB∴在Rt△AFP中，设FD=x，则AF=，∴在RT△APF中有，，求得DF=．【点评】：本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能力，关键是找准对应的角和边求解．2、（2014.福州20题）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB32，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ADC的外接圆.（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径.【解析】∴BC33.（2）由（1）得，在Rt△ACE中， ∠EAC=30°，EC=3，∴AC=23. ∠D=∠ACB，∠B=∠B，∴△BAC∽△BCD.∴ABACCBCD，即3223CD33.∴DM=4.∴⊙O的半径为2.【考点】：1.锐角三角函数定义；2.特殊角的三角函数值；3.相似三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5.圆内接四边形的性质；6.含30度角直角三角形的性质；7.勾股定理.3．（2014•广西来宾，第24题10分）如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF=2CBF∠，CGBF⊥于点G，连接AE．（1）直接写出AE与BC的位置关系；（2）求证：△BCGACE∽△；（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O的半径长．考点：圆的综合题；角平分线的性质；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定．专题：综合题．分析：（1）由AB为⊙O的直径即可得到AE与BC垂直．（2）易证∠CBF=BAE∠，再结合条件∠BAF=2CBF∠就可证到∠CBF=CAE∠，易证∠CGB=AEC∠，从而证到△BCGACE∽△．（3）由∠F=60°，GF=1可求出CG=；连接BD，容易证到∠DBC=CBF∠，根据角平分线的性质可得DC=CG=；设圆O的半径为r，易证AC=AB，∠BAD=30°，从而得到AC=2r，AD=r，由DC=ACAD=﹣可求出⊙O的半径长．解答：解：（1）如图1，AB 是⊙O的直径，AEB=90°∴∠．AEBC∴⊥．（2）如图1，BF 与⊙O相切，ABF=90°∴∠．CBF=90°ABE=BAE∴∠∠∠﹣．BAF=2CBF ∠∠．BAF=2BAE∴∠∠．BAE=CAE∴∠∠．CBF=CAE∴∠∠．CGBF ⊥，AEBC⊥，CGB=AEC=90°∴∠∠．CBF=CAE ∠∠，∠CGB=AEC∠，BCGACE∴△∽△．（3）连接BD，如图2所示．DAE=DBE ∠∠，∠DAE=CBF∠，DBE=CBF∴∠∠．AB 是⊙O的直径，ADB=90°∴∠．BDAF∴⊥．DBC=CBF ∠∠，BDAF⊥，CGBF⊥，CD=CG∴．F=60° ∠，GF=1，∠CGF=90°，tanF=∴∠=CG=tan60°=CG= ，CD=∴．AFB=60° ∠，∠ABF=90°，BAF=30°∴∠．ADB=90° ∠，∠BAF=30°，AB=2BD∴．BAE=CAE ∠∠，∠AEB=AEC∠，ABE=ACE∴∠∠．AB=AC∴．设⊙O的半径为r，则AC=AB=2r，BD=r．ADB=90° ∠，AD=∴r．DC=ACAD=2r∴﹣﹣r=（2﹣）r=．r=2∴+3．O∴⊙的半径长为2+3．点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定、角平分线的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，有一定的综合性．连接BD，证到∠DBC=CBF∠是解决第（3）题的关键．4.（2014•湖北宜昌,第21题8分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．（1...