n阶行列式的计算方法和技巧.VIP免费

哈尔滨职业技术学院学报2008年第1期JournalofHarbinInstituteofVocationalTechnology・119・中图分类号:O151文献标识码:A文章编号:1008—8970—(200706—0119—02[收稿日期]2007-09-11[作者简介]代冬岩(1980-,女,黑龙江八一农垦大学教师。n阶行列式的计算方法和技巧代冬岩(黑龙江八一农垦大学,黑龙江大庆163319摘要:归纳行列式的各种计算方法,并举例说明了它们的应用,同时对各种方法适用范围和特点进行总结,以便更好地运用其解决各种类型题。关键词:n阶行列式;行列式的性质;方法;技巧线性代数主要内容就是求解多元线性方程组,行列式的计算在其中起到重要作用。最直接的计算方法就是用定义,但通常计算量很大,一般不采用。所以如何选择适当的方法求解行列式十分关键,下面介绍一些常用的方法和技巧。一、化三角形法化三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形,化为上(下三角形行列式,再利用上(下三角形行列式的特点(主对角线上元素的乘积,求出值。二、按行(列的展开定理(降阶法按行(列展开法可以将一个n阶行列式化为n个n-1阶行列式计算。若继续使用按行(列展开法,可以将n阶行列式降阶直至化为多个2阶行列式计算。这两种方法我们比较常用,就不详细介绍了。三、递推法此法的要点是:利用已给行列式Dn的特点,建立起同类型的n阶行列式和n-1阶(或更低阶行列式之间的关系式,这个关系式叫递推关系式。再根据递推关系式,求出Dn的一般表示式例1计算n阶行列式[分析]此行列式的特点是:除主对角线及其上条对角线和最后一行元素外,其余元素都为零。从行列式的左上方往右下方看,即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。解:第1行,第1列均只有两个元素,不妨按第1列展开,得Dn=xDn-1+a,由此递推得=将上式第1行乘以-1加到第i行;第i行乘以[注意]大家一定要记住,加边法最大的特点就是要找出每行或每列相同的因子,这样升阶之后,就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零,然后再化为三角形行列式,这样就达到了简化计算的效果。哈尔滨职业技术学院学报2008年第1期JournalofHarbinInstituteofVocationalTechnology・120・五、拆项法由行列式拆项性质知,将已知行列式拆成若干个行列式之和,计算其值,再得原行列式值,此法称为拆行(列法。例3计算n(n≥2阶行列式解:将Dn按第一列拆成两个行列式的和,即上式等号右端的第一个行列式:第i列减去第一列的i倍,第i列再提取公因式,再分别减去第一列的倍(i=2,3,…,n,则得到当n≥3时,Dn=0;当n=2时,证明:当n=2时,由上可知结论成立假定对这样的n-1阶行列式结论成立进而证明对阶数为n时结论成立按Dn的最后一列,把Dn拆成两个行列式相加把上式中的第一个行列式最后一列的-1倍加到前面各列,得到一个对角形行列式其值为,由归纳假定知23.范德蒙行列式[注意]有时此类的行列式需要稍加转化,转化成上面的形式后,再利用公式和定理计算。以上几种方法已将n阶行列式的计算方法大部分囊括在内,虽然方法很多,但不难掌握。我们解答问题时,要重视方法分析,着重培养解决问题的能力和技巧,形成良好的数学思维,在今后的数学学习中应该多多注意。[参考文献][1]钱芳华.高等代数方法选讲[M].广西:广西师范大学出版社,1991.[2]许甫华,张贤科.高等代数解题方法[M].北京:清华大学出版社,2001.[3]杨勇,张震峰.线性代数和概率论自测试题[M].上海:上海财经大学出版社.[4]陈文灯,黄先开.数学复习指南(经济类[M].北京:世界图书出版公司,2003.[5]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1987.(责任编辑:杨晓娜