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如何用导数解决与切线有关的问题?江苏省六合高级中学刘明一、求过曲线上某个定点处的切线曲线的切线问题,是高考的常见题型之一,主要有以下几类问题:例1(2009全国卷Ⅱ理)曲线y=x2x-1在点(1,1)处的切线方程为.解点(1,1)在曲线上.因为y′=-1(2x-1)2,在点(1,1)处的切线斜率k=-1,所以切线方程为x+y-2=0.【变式训练】1.(2010全国Ⅱ卷)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则a=,b=.a=1,b=12.(2010辽宁)已知点P在曲线y=4ex+1上,θ为曲线在点P处的切线的倾斜角,则θ的取值范围是.[3π4,π)二、曲线的切线经过某个定点例2已知函数f(x)=x3-3x(x∈R)的图像为曲线C,曲线C的切线l经过点A(2,2),求切线l的方程.解设切点为(t,t3-3t),切线l的斜率为k=3t2-3,切线方程为y-(t3-3t)=(3t2-3)(x-t).因为l过点A(2,2),所以2-(t3-3t)=(3t2-3)(2-t),即t3-3t2+4=0,解得t=2或t=-1.①当t=2时,l:9x-y-16=0;②当t=-1时,l:y=2.综上,切线l的方程为y=2或9x-y-16=0.设切点求出切线方程依据题意,代人条件代数求解得到结论【变式训练】(2010湖北)设函数f(x)=13x3-a2x2+1(a∈R),若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线,求实数a的取值范围.提示设出切点(t,f(t)),得到切线方程为y-f(t)=f′(t)(x-t).将点(0,2)代入切线方程,得4t3-3at2+6=0.问题转化为研究关于t的函数g(t)=4t3-3at2+6有3个不同零点的问题.这就需要研究函数g(t)的单调性、极值,最终研究其零点.a的取值范围是(323,+∞).三、不同曲线的相同切线问题例3(2010陕西)已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程.解曲线的交点就是切点.因为f′(x)=12x,g′(x)=ax(x>0),由已知得x=alnx,12x=ax.解得a=e2,x=e2,所以两条曲线交点的坐标为(e2,e),切线的斜率为k=12e,所以所求切线的方程为x-2ey+e2=0.【变式训练】(2009江西卷)若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x-9都相切,则实数a=.提示设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x03),所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0).又(1,0)在切线上,解得x0=0或x0=-32.(切线有了)当x0=0时,切线为y=0,与y=ax2+154x-9相切,可得a=-2564;当x0=-32时,切线为y=274x-274,与y=ax2+154x-9相切,可得a=-1.设切点求出切线方程依据题意,代人条件代数求解得到结论【总结】从上面的例题可以发现,解决切线问题的基本方法是:

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