2.6.3曲线的交点[基础达标]若直线l过点(3，0)且与双曲线4x2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线共有________条．解析：有两条与渐近线平行的直线：y＝±(x－3)，另外，还有一条切线x＝3.答案：3抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点为(1，2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是________．解析：由交点坐标为(1，2)，求得a、p的值，利用点到直线距离求得焦点到该直线的距离为.答案：曲线x2＋y2＝9与曲线x2＝8y的交点坐标是________．解析：由，得，∴交点为(±2，1)．答案：(±2，1)过点(0，1)且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有________条．解析：一条与抛物线的对称轴平行，两条相切，共3条．答案：3已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________．解析：由，消去y得方程ax2－x＋1＝0.令Δ＝1－4a＝0，得a＝.答案：若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．解析：因为直线过定点(0，1)恒在椭圆上或在椭圆内，所以≤1.又m≠5，所以m≥1且m≠5.答案：m≥1且m≠5过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若AB＝10，那么x1＋x2＝________．解析：因为p＝2，AB＝x1＋x2＋p＝10，所以x1＋x2＝8.答案：8抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为________．解析：因为y＝4x2与y＝4x－5不相交，设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋m.则⇒4x2－4x－m＝0.①设此直线与抛物线相切，则有Δ＝0，即Δ＝16＋16m＝0，∴m＝－1.将m＝－1代入①式，x＝，y＝1，所求点的坐标为.答案：如图，斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．解：设A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，c2＝3，所以F(，0)，直线l的方程为y＝x－.将其代入x2＋4y2＝4，化简整理，得5x2－8x＋8＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.所以AB＝|x1－x2|＝·＝×＝.已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N.(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；(2)是否存在实数k使NA·NB＝0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．解：1(1)证明：如图所示，设A(x1，2x)，B(x2，2x)，把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝－1，∴xN＝xM＝＝，∴N点的坐标为(，)．设抛物线在点N处的切线l的方程为y－＝m(x－)，将y＝2x2代入上式得2x2－mx＋－＝0.∵直线l与抛物线C相切，∴Δ＝m2－8(－)＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，∴m＝k，即l∥AB.故抛物线C在点N处的切线与AB平行．(2)假设存在实数k，使NA·NB＝0，则NA⊥NB.又∵M是AB的中点，∴MN＝AB.由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)＝[k(x1＋x2)＋4]＝(＋4)＝＋2.∵MN⊥x轴，∴MN＝|yM－yN|＝＋2－＝.又AB＝·|x1－x2|＝·＝·＝·.∴＝·，解得k＝±2.即存在k＝±2，使NA·NB＝0.[能力提升]直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是________．解析：由，消去y得3x2＋4x－2＝0，所以x1＋x2＝－，所以弦的中点的横坐标为－，代入y＝x＋1，得中点坐标是(－，)．答案：(－，)已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则AB＝________．解析：设AB的方程为y＝x＋b，与y＝－x2＋3联立得：x2＋x＋b－3＝0，∴Δ＝1－4(b－3)＞0，x1＋x2＝－1，x1x2＝b－3.∴AB的中点C在x＋y＝0上；即－＋b－＝0解得b＝1符合Δ＞0，∴弦长AB＝·＝3.答案：3过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A、B两点．设△AOB的面积为S(O为原点)，若S的最小值为8，求此时的抛物线方程．解：如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋，代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0，∴y1y2＝－p2.又S△AOB＝S△OAF＋S△OBF＝··|y1|＋··|y2|＝(|y1|＋|y2|)≥·2＝.当且仅当|y1|＝|y2|＝p时等号成立．故Smin＝.由题意有＝8，∴p＝4.故所求的抛物线方程为y2＝8x.4．(创新题)已知抛物线C：y＝－x2＋mx－1，点A(3，0)、B(0，3)，求C与线段AB有两个不同交点时m的取值范围．解：线段AB：x＋y－3＝0(0≤x≤3)．由消去y，得x2－(m＋1)x＋4＝0.令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，2则方程f(x)＝0在[0，3]内有两个不同实数根的充要条件是解得3＜m≤.故所求m的取值范围为{m|3＜m≤}．3
